Trigonometri

Trigonometri adalah ilmu matematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi. Dasarnya menggunakan bangun datar segitiga. Hal ini karena arti dari kata trigonometri sendiri yang dalam bahasa Yunani yang berarti ukuran-ukuran dalam sudut tiga atau segitiga.

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga

Sebuah segitiga dengan salah satu sudutnya berupa \alpha:

gambar segitiga

Sisi AB merupakan sisi miring segitiga
Sisi BC merupakan sisi depan sudut \alpha
Sisi AC merupakan sisi samping sudut \alpha

Di sini kita akan mengenal istilah matematika baru, yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecan (csc), secan (sec) dan cotangent (cot), yang mana sinus merupakan kebalikan dari cosecan, cosinus kebalikan dari secan dan tangent kebalikan dari cotangent.

Sinus, Cosinus dan Tangent digunakan untuk menghitung sudut dengan perbandingan trigonometri sisi di segitiga. Dengan gambar segitiga diatas, nilai Sinus, Cosinus dan Tangent diperoleh dengan cara sebagai berikut:

\sin \alpha = \frac{a}{c}, \{ \frac{a}{c} = \frac{de-pan}{mi-ring} \}, sehingga bisa dihapal dengan sebutan sin-de-mi.

\cos \alpha = \frac{b}{c}, \{ \frac{b}{c} = \frac{sa-mping}{mi-ring} \}, sehingga bisa dihapal dengan sebutan cos-sa-mi.

\tan \alpha = \frac{a}{b}, \{ \frac{a}{b} = \frac{de-pan}{sa-mping} \}, sehingga bisa dihapal dengan sebutan tan-de-sa.

\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}=\frac{1}{a/c}=\frac{c}{a}.

\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}=\frac{1}{b/c}=\frac{c}{b}.

\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}=\frac{1}{a/b}=\frac{b}{a}.

Sudut Istimewa

Berikut ini nilai sin, cos, dan tan untuk sudut istimewa:

trigonometri sudut istimewa

Dalam Kuadran

Sudut dalam suatu lingkaran, memiliki rentang 0° – 360°, sudut tersebut dibagi menjadi 4 kuadran, dengan masing-masing kuadran memiliki rentang sebesar 90°.

kuadran satu dua tiga empat

  • Kuadran 1 memiliki rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangent positif.
  • Kuadran 2 memiliki rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.
  • Kuadran 3 memiliki rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.
  • Kuadran 4 memiliki rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.

Perhatikan tabel trigonometri di bawah ini:

perbandingan trigonometri

Identitas Trigonometri

gambar segitiga

Dalam suatu segitiga siku-siku, selalu berlaku prinsip phytagoras, yaitu a^2+b^2=c^2. Pada materi ini, prinsip phytagoras ini menjadi asal pembuktian identitas trigonometri sendiri.

a^2+b^2=c^2 bagi kedua ruas dengan c^2, diperoleh persamaan baru \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1. Sederhanakan dengan sifat eksponensial menjadi (\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2. Dari persamaan terakhir, subtitusi bagian yang sesuai dengan perbandingan trigonometri pada segitiga, yaitu \sin \alpha = \frac{a}{c} dan \cos \alpha = \frac{b}{c}, sehingga diperoleh (\sin \alpha^2 + (\cos \alpha)^2 = 1 atau bisa ditulis menjadi \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.

Dari identitas yang pertama, dapat diperoleh bentuk lainnya, yaitu:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 bagi kedua ruas dengan \cos^2 \alpha, diperoleh (\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} dimana \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha dan \frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha, sehingga diperoleh: \tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha

Bentuk ketiga yaitu \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 dibagi dengan \sin^2 \alpha menjadi 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\sin^2 \alpha}, dimana \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha dan \frac{1}{\sin \alpha} = \csc \alpha, sehingga diperoleh persamaan: 1+\cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha.

Contoh Soal Trigonometri

Tentukanlah nilai dari \sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}!

Jawab:

\sin 120^{\circ} berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti \sin 120^{\circ} = \sin (180-60)^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3}

\cos 120^{\circ} berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti \cos 120^{\circ} = \cos (180+30)^{\circ} = - \cos 30^{\circ} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}

\cos 315^{\circ} berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti \cos 315^{\circ} = \cos (360-45)^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2}

Jadi \sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}=\frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{3}+\frac{1}{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2} \sqrt{2}

Kontributor: Fikri Khoirur Rizal A.Q.
Alumni Teknik Elektro UI