Barisan dan Deret – Aritmatika, Geometri, Tak Hingga

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan U_n . Barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga, U_n = f(n)

barisan dan deret sebagai fungsi

Misalkan U_n = (2n + 1), maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah U_4 = (2(4) + 1) = 9.

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Penjumlahan suku-suku tersebut bisa dibuat dalam bentuk sigma. Barisan dari suku U1, U2, U3, …, Un yang dinyatakan dalam fungsi f(n) = Un  f(n) = U_n memiliki deret sebagai:

U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_n = \sum \limits_{i=1}^{n} {U_i}

Baris Aritmatika

Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:

U_n - U_{(n - 1)} = b

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

U_n = U_k + (n - k)b

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama U_k = a dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai U_n adalah:

U_n = a + (n - 1)b

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n-1)}

atau sebagai:

S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)

Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots +U_(n-1).

S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_(n-1).

S_n - S_(n-1) = U_n

Sehingga diperoleh U_n = S_n - S_(n-1).

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:

b = \frac{p-a}{q+1}

Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya adalah:

  • Nilai q = 3
  • Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5
  • b = \frac{9-1}{3+1} = \frac{8}{4}= 2
  • Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah

Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke-  \frac{1}{2}(n+1). Jika diselesaikan dalam rumusU_n = a + (n - 1)b, maka nilai suku tengah didapatkan:

U_n = a + (n - 1)b

U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = a + (\frac{1}{2}(n + 1) - 1)b

= a + (\frac{1}{2}n - \frac{1}{2})b = a + \frac{1}{2}(n - 1)b

= \frac{2a+(n - 1)b}{2} = \frac{a + a(n - 1)b}{2}

U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = \frac{a + U_n}{2}

Barisan Geometri

Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

\frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = r

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai

r = \frac{16}{8} = \frac{8}{4} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

U_n = U_k \cdot r^{(n - k)}

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama  U_k = a dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai U_n adalah:

U_n = a \cdot r^{(n - 1)}

Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n - 1)} + U_n

Atau sebagai:

S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{(n - 2)} + ar^{(n - 1)}

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

S_n = a\frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}

dengan syarat 0 < r < 1.

Atau:

S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)}

dengan syarat r> 1.

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:

U_n = S_n - S_{(n - 1)}

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi:

a, ar, ar2, ar3, …,arq, ar(q+1)

Dimana suku terakhir tersebut:

ar(q+1) = p

Sehingganilai r dapat ditentukan sebagai:

r = \sqrt[q + 1]{\frac{p}{a}}

Deret Geometri Tak hingga

Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana n \rightarrow \infty, maka deret ini dapat dijumlah menjadi:

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \cdots

Atau sebagai :

S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots

Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri  adalah:

S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}

Dimana terdapat unsur r^n didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika n \rightarrow \infty, maka untuk menentukan nilai r^n dapat menggunakan limit yaitu:

lim_{n \rightarrow \infty} r^n

dengan syarat -1 < r < 1.

Dan:

lim_{n \rightarrow \infty} r^n = tak terbatas

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Kemudian hasil limit r^n tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai:

S = a \frac{(1 - lim_{n \rightarrow \infty} r^n)}{(1 -r)} = a \frac{1 - 0}{1 - r} = \infty

dengan syarat -1 < r < 1

Dan:

S = a \frac{(1 - lim_{n \rightarrow \infty} r^n}{(1 - r)} = a \frac{(1 - \infty)}{(1 - r)} = \infty

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika/Geometri dan Pembahasan

1. Contoh Soal Deret Aritmatika

Suatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah?

Pembahasan:

  • Diketahui bahwa U_5 = 42, U_8 = 15, maka dapat digunakan rumus :

U_n = U_k + (n - k)b

  • Dimana:

U_8 = U_5 + (8 - 5)b

15 = 42 + (8 - 5)b

3b = -27

b = -9

  • Sehingga:

U_5 = 42 = a + 4b = a + 4(-9) = a - 36

78 = a

U_{12} = a + 11b = 78 + 11(-9) = 78 - 99 = -21

  • Diperoleh:

S_{12} = \frac{n}{2} (a + U_12) = \frac{12}{2} (78 + (-21)) = 6 \times 57 = 342

2. Contoh Soal Deret Geometri

Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan:

  • Diketahui bahwa:

S_2 = 6

6 = a \frac{(1 - r^2)}{(1 -r)} = a \frac{(1 -r)(1 + r)}{(1 -r)} = a(1 + r)

dan

S_4 = 54

54 = a \frac{(1 - r^4)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r^2)(1 + r^2)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r)(1 + r)(1 + r^2)}{(1 - r)}

54 = a(1 + r)(1 + r^2)

  • Jika kedua persamaan disubstitusikan :

54 = a(1 + r)(1 + r^2)

54 = 6(1 + r^2)

9 = (1 + r^2)

r = \pm \sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}

Dan

6 = a(1 + r) = a(1 + 2\sqrt{2})

a = \frac{6}{(1 + 2\sqrt{2})}

  • Sehingga :

S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} = (\frac{6}{1 + 2\sqrt{2}}) \frac{(1 - (2\sqrt{2})^6)}{(1 - 2\sqrt{2})}

S_n = \frac{6(1 - 8^3)}{1 - 8} = \frac{3066}{7}

 

3. Contoh Soal Geometri Tak Hingga

Jika \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 maka jumlah deret geometri tak hingga \frac{1}{p} + \frac{1}{pq} + \frac{1}{pq^2} + \frac{1}{pq^3} + \cdots  adalah?

(SPMB 2005)

Pembahasan 3:

  • Diketahui bahwa:

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{p + q}{pq}  atau  p + q = pq

  • Ditentukan ratio deretnya adalah:

 r = \frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = \frac{\frac{1}{pq}}{\frac{1}{p}} = \frac{1}{pq} \times \frac{p}{1} = \frac{1}{q}

  • Maka jumlah deretnya dengan mensubstitusi p + q = pq adalah:

S = \frac{a}{(1 - r)} = \frac{\frac{1}{p}}{(1 - \frac{1}{q})} = \frac{\frac{1}{p}}{(\frac{q - 1}{q})} = \frac{1}{p} \times \frac{q}{q - 1} = \frac{q}{p(q - 1)}

S = \frac{q}{pq -p} = \frac{q}{(p + q) - p} = 1

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI