Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Penyusutan, & Anuitas

Perhitungan untuk bunga, penyusutan, pertumbuhan, dan peluruhan  mengunakan konsep baris dan deret pada aritmatika dan geometri. Sehingga sebelum mempelajari ini, terlebih dahulu mempelajari konsep barisan dan deret.

Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Sedangkan, deret aritmatika merupakan penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika.

Baris geometri merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Sedangkan, deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Turunan Fungsi Trigonometri

Bunga

Bunga (suku bunga) atau bank interest adalah pertambahan jumlah modal yang diberikan oleh bank untuk para nasabahnya dengan dihitung dari presentase modal uang nasabah dan lamanya menabung. Bunga juga bisa diberikan oleh pemberi pinjaman kepada pinjaman. Bunga ada dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Berikut ini perbedaannya :

Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga hanya memiliki satu variasi saja (tetap) dari awal periode sampai akhir periode. Contohnya saat menabung di bank, kita akan mendapatkan bunga yang tetap tiap-tiap periode.

Modal adalah jumlah dari yang dibungakan, modal awal merupakan modal yang dikeluarkan pada awal waktu usaha dan sebelum dibungakan. Modal akhir adalah hasil dari modal yang dibungakan.Sedangkan suku bunga dinyatakan dalam persentase tiap satuan waktu.

Jika modal awal sebesar M_0 mendapat bunga tunggal sebesar b (dalam persentase) per bulan, maka setelah n bulan besar modalnya M_n menjadi:

M_n = M_0(1+n \cdot b)

Contoh soal bunga tunggal:

Diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga sebesar 2 \% per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah ….

M_n = 1.000.000 (1 + 5 \times \frac{2}{100}) = Rp1.100.000

Jika modal awal sebesar M_0, dan diketahui jumlah bunga tunggalnya B, maka besar persentase bunga tunggalnya b adalah

b = \frac{B}{M_0} \times 100 \%

Contoh lain: Diketahui bunga tunggal sebesar Rp50.000 untuk modal pinjaman Rp1.000.000, maka presentasenya adalah

b = \frac{50000}{1000000}\times 100 \% = 5 \%

Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya.Bunga majemuk memiliki banyak variasi dan selalu berubah (tidak tetap) pada tiap-tiap periode. Contohnya saat menjual sebuah kendaraan, harga kendaraan yang dijualakan berubah setiap periode dan perubahannya bervariasi.

bunga majemuk ilustrasi

Sumber: thecalculatorsite.com

Jika modal awal sebesar M_0 mendapat bunga majemuk sebesar b (dalam persentase) perbulan, maka setelah n bulan besar modalnya M_n menjadi:

M_n = M_0(1+b)^n

Contoh, diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga majemuk sebesar 2 \% per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah

M_n = 1.000.000(1+0.02)^5 = 1.104.080,80

Jika modal awal sebesar M_0 disimpan di bank mendapatkan bunga sebesar b pertahun dan perhitungan bunga dihitung sebanyak m kali dalam setahun, maka besar modal pada akhir tahun ke-n adalah :

M_n = M_0(1+\frac{b}{m})^{mn}

Contoh, M_0 = 1.000.000, m = 12\ kali, n = 2\ tahun, dan b = 6 \%, maka

M_n = 1.000.000(1+\frac{0.06}{12})^{12 \times 2} = 1.127.159,78

Penyusutan

Penyusutan atau depresiasi adalah pengurangan nilai dari harta tetap terhadap nilai buku atau nilai beli awalnya. Penyusutan dilakukan secara berkala dalam rangka pembebanan biaya pada pendapatan, baik atas penggunaan harta tersebut maupun karena sudah tidak memadai lagi.

Ada dua istilah dalam penyusutan yaitu, nilai buku dan nilai beli. Nilai beli merupakan harga awal ketika melakukan pembelian barang. Sedangkan nilai buku adalah nilai setelah terjadi penyusutan dimana nilainya tiap periode akan semakin kecil.

Jika harga sebuah barang pada saat dibeli adalah M_0 dan mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari harga belinya, maka nilai barang pada akhir tahun ke-n adalah :

M_n = M_0(1 - np)

Contoh, harga mobil Rp100.000.000 menyusut harganya 10% tiap tahun. Di akhir tahun ke-5 nilainya

M_n = 100.000.000(1 - 5 \times 0.1) = 50.000.000

Besar nilai (harga) penyusutan tiap tahun adalah :

P = M_0.p

P = 100.000.000 \times 0.1 = 10.000.000

Jika suatu barang mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari nilai bukunya sendiri, maka pada akhir tahun ke-n, nilai barangnya adalah :

M_n = M_0(1 - p)^n

Besar nilai (harga) penyusutan pada tahun ke-n adalah

P_n = M_{n-1}(p)(1 - p)^{(n-1)}

Contoh, harga mobil Rp100.000.000 menyusut nilai bukunya 10% tiap tahun. Di akhir tahun ke-5 nilainya

M_5 = 100.000.000 (1 - 0.1)^5 = 59.049.000

P_n = 65.610.000 (0.1) (1 - 0.1)^{(5-1)} = 4.304.672

Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan kenaikan jumlah pada tiap periode waktu berdasarkan suatu rasio pertumbuhan. Jika jumlah awal adalah J_0 dan rasio adalah r per tahun, maka pada akhir tahun ke-n, jumlah akhirnya menjadi J_n:

J_n = J_0(1+r)^n

Contoh, jumlah penduduk 10.000 jiwa dengan pertumbuhan penduduk 5% per tahun, maka pada akhir tahun ke-4, jumlahnya

J_n = 10.000 (1+0.05)^4 = 12.155\ jiwa

Anuitas

Anuitas adalah rangkaian pembayaran atau penerimaan yang sama jumlahnya dan harus dibayarkan atau yang harus diterima pada tiap akhir periode atas sebuah pinjaman atau kredit. Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan yaitu:

  • Besar pinjaman
  • Besar bunga
  • Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran
ilustrasi anuitas

Sumber: moneysense.ca

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri. Sehingga konsepnya :

Anuitas = Bunga\ atas\ hutang\ + Angsuran\ hutang

Jika utang sebesar M_o mendapat bunga sebesar b per bulan dan anuitas sebesar A, maka dapat ditentukan :

  • Besar bunga pada akhir periode ke-n

B_n = (1+b)^{n-1}(b \cdot M - A) + A

  • Besar angsuran pada akhir periode ke-n

A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)

  • Sisa hutang pada akhir periode ke-n

M_n = (1+b)^n (M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}

(contoh di soal 2)

Besar anuitas untuk membayar hutang sebesar M_0 dengan bunga sebesar b perbulan selama n bulan adalah :

A = \frac{b (M_0)(1 + b)^n}{(1 + b)^n - 1}

(contoh di soal 3)

Contoh Soal Bunga Tunggal/Majemuk/Anuitas dan Pembahasan

1. Contoh Soal Bunga Majemuk

Modal sebesar Rp10.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga majemuk 2% per tahun. Pada permulaan tahun ketiga, modal itu menjadi?

Pembahasan

M_n = M_0(1+b)^n

M_0 = 10.000.000(1 + 0,02)^2 (n = 2, karena awal tahun ke-3 sama dengan akhir tahun ke-2)

M_n = 10.000.000(1,02)^2

M_n = 10.404.000,00

2. Contoh Soal Anuitas

Sebuah pinjaman sebesar Rp20.000.000,00 akan dilunasi secara anuitas tahunan sebesar Rp4.000.000,00. Jika suku bunga 5% per tahun, besar angsuran, bunga, dan sisa hutang tahun ketiga adalah?

Pembahasan

  • Angsuran

A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)

A_n = (1+0,05)^{3-1}(4.000.000 - (0,05)20.000.000)

A_n = (1,05)^2(4.000.000 - 1.000.000)

A_n = (1,1025)(3.000.000)

A_n = 3.307.500,00

  • Bunga

B_n = (1+b)^{n-1}(b.M - A) + A

B_n = (1+0.05)^{3-1}(0.05 \times 20.000.000 - 4.000.000) + 4.000.000

B_n = (1,05)^2(-3.000.000) + 4.000.000 = -3.307.500 + 4.000.000

B_n = 692.500,00

  • Sisa hutang

M_n = (1+b)^n(M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}

M_n = (1 + 0.05)^3(20.000.000 - \frac{4.000.000}{0.05})+ \frac{4.000.000}{0.05}

M_n = (1.157625)(-60.000.000) + 80.000.000

M_n = 10.542.500,00

3. Contoh Soal Anuitas

Sebuah pinjaman sebesar Rp850.000.000,00 yang harus dilunasi dengan 6 anuitas jika dasar bunga 4% per bulan dan pembayaran pertama dilakukan setelah sebulan. Sisa hutang pada akhir bulan kelima adalah?

Pembahasan

A = \frac{b(M_0)(1+b)^n}{(1+b)^n-1}

A = \frac{(0,04)(850.000.000)(1+0,04)^6}{(1+0,04)^6-1}

A = \frac{(0,04)(850.000.000)(1,04)^6}{(1,04)^6-1}

A = \frac{43.020.846,63}{0,2265319}

A = 162.147.628,43

Sisa hutang pada akhir periode ke-5 adalah

M_n = (1+b)^n(M - \frac{A}{b} + \frac{A}{b})

M_n = (1 + 0,04)^5(850.000.000 - \frac{162.147.628,43}{0,04}) + \frac{162.147.628,43}{0,04}

M_n = (1,04)^5(850.000.000 - \frac{162.147.628,43}{0,04}) + \frac{162.147.628,43}{0,04}

M_n = 155.911.109,00

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Integral
  2. Perbandingan Trigonometri
  3. Persamaan Kuadrat