Eksponen, Perpangkatan, & Bentuk Akar

Eksponen diartikan sebagai perkalian atau pembagian bilangan dengan besaran yang diulang-ulang (repetisi). Sesuai dengan definisinya, eksponen mengandung bentuk perpangkatan dan akar. Eksponen ditulis dalam bentuk:

a^n atau \sqrt[m]{a}

Jika dalam pangkat a^n, maka nilai a dikalikan dengan a sebanyak n kali atau an = a x a x … x a.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Integral Tentu & Penggunaan Integral
Grafik Fungsi Trigonometri

Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Dengan a, b, p, m, dan n adalah bilangan real, maka eksponen dalam bentuk perpangkatan memiliki sifat-sifat berikut:

  • a^m\times a^n = a^{(m+n)}

Contoh:

2^3 \times 2^4 = 2^{(3+4)} = 2^7

3^5\times 3^4 = 3^{(5+4)} = 3^9

  • \frac{a^m}{a^n} = a^{(m-n)} dengan a \ne 0

Contoh:

\frac{2^7}{2^3} = 2^{(7-3)} = 2^4

\frac{3^6}{3^3}= 3^{(6-3)} = 3^3

  • (a^m)^n = a^{(m \times n)}

Contoh:

(2^3)^2 = 2^{(3 \times 2)} = 2^6

(5^2)^4 = 5^{(2 \times 4)} = 2^8

  • (a^m\times b^n)^p = a^{mp}\times b^{np}

Contoh:

(2^3 \times 3^4)^2 = 2^{(3\times 2)}\times 3^{(4\times 2)} = 2^6 \times 3^8

(3^5 \times 5^4)^3 = 3^{(5\times 3)}\times 5^{(4\times 3)} = 3^{15} \times 5^{12}

  • (\frac{a^m}{b_n})^p = \frac{a^{mp}}{b^{np}} dengan b ≠ 0

Contoh:

(\frac{3^7}{2^3})^2 = \frac{3^{(7 \times 2)}}{2^{(3\times 2)}} = \frac{3^{14}}{2^6}

(\frac{3^6}{5^5})^3 = \frac{3^{(6\times 3)}}{5^{(5\times 3)}} = \frac{3^{18}}{5^{15}}

  • a^0 = 1 dengan a ≠ 0

Contoh:

4^0 = 1

3^0 = 1

  • a^{-n} = \frac{1}{a^n} dengan a ≠ 0

Contoh:

2^{-6} = \frac{1}{2^6}

3^{-7} = \frac{1}{3^7}

  • \frac{1}{a^{-n}} = a^n

Contoh:

\frac{1}{2^{-5}} = 2^5

\frac{1}{3^{-7}} = 3^7

  • a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

Contoh:

2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^5}

3^{\frac{7}{6}} = \sqrt[6]{3^7}

Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat

Berdasarkan sifat terakhir bilangan berpangkat, diketahui akar kuadrat juga merupakan sebuah bentuk pangkat a^n dengan nilai pangkat n yang berada pada rentang 0 < n < 1. Sebagai contoh:

5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}

7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}

Eksponen dalam bentuk akar kuadrat memiliki sifat-sifat berikut:

\sqrt{a^2} = | a |

\sqrt{a\times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Operasi Aljabar Bentuk Akar

Eksponen dalam bentuk akar bisa dilakukan operasi aljabar. Untuk p dan q adalah bilangan real, maka operasi aljabarnya sebagai berikut:

p(\sqrt{a}) + q(\sqrt{a}) = (p+q)(\sqrt{a})

p(\sqrt{a}) - q(\sqrt{a}) = (p - q)(\sqrt{a})

p(\sqrt{a})\times q(\sqrt{b}) = (pq)(\sqrt{a \times b})

\frac{p(\sqrt{a})}{q(\sqrt{b})} = (\frac{p}{q}) (\sqrt{\frac{a}{b}})

Merasionalkan Penyebut Pecahan

Pecahan eksponen dapat dirasionalkan dengan mengalikan pecahan tersebut dengan sebuah pecahan pengali bernilai satu dimana penyebut dan pembilang dari pecahan pengali tersebut sama dengan pembilang dari pecahan yang hendak dirasionalkan.

Pecahan Pecahan Pengali Rasionalisasi Pecahan
\frac{a}{\sqrt{b}} \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{b}
\frac{c}{a+\sqrt{b}} \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}} \frac{c}{a+\sqrt{b}} = \frac{c}{a+\sqrt{b}}\times \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}} = \frac{c(a-\sqrt{b})}{a^2-b}
\frac{c}{a-\sqrt{b}} \frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}} \frac{c}{a-\sqrt{b}} = \frac{c}{a-\sqrt{b}}\times \frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}} = \frac{c(a+\sqrt{b})}{a^2-b}
\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} -\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a-b}
\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}

Sifat-sifat Pangkat Pecahan

Jika dalam sebuah pangkat pecahan, a dan b adalah bilangan real, p dan q adalah pecahan dan bilangan rasional maka:

  • a^p \times a^q = a^{p+q}

Contoh:

3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{5}{3}} = 3^{\frac{6}{3}} = 3^2

  • a^p:a^q = a^{p-q}

Contoh:

2^{\frac{3}{2}}:2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3-1}{2}} = 2^{\frac{2}{2}} = 2

  • (a^p)^q = a^{p\times q}

Contoh:

(2^{\frac{1}{5}})^{\frac{7}{2}} = 2^{\frac{1}{5}\times \frac{7}{2}} = 2^{\frac{7}{10}} =\sqrt[10]{2^7}

  • a^{-p}=\frac{1}{a^p}

Contoh:

4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}

  • (a^p\times b^q)^r

Contoh:

(2^{\frac{1}{2}}\times 3^{\frac{1}{6}})^{\frac{8}{5}} = (2^{\frac{1}{2}\times \frac{8}{5}}) \times (3^{\frac{1}{6} \times \frac{8}{5}}) = 2^{\frac{4}{5}}\times 3^{\frac{4}{15}}

  • (\frac{a^p}{b^q})^r

Contoh:

(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{5}{6}}})^{\frac{3}{5}} = \frac{2^{\frac{2}{3}(\frac{3}{5}})}{4^{\frac{5}{6}(\frac{3}{5})}} = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4^{\frac{3}{6}}} = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{2^1} = 2^{- \frac{3}{5}}

Fungsi Eksponen

Suatu fungsi f(x)=a^x dengan a>0, a \ne 1, dan x \epsilon R disebut fungsi eksponen. Fungsi eksponen sering dinotasikan sebagai:

f : x \rightarrow x^2 atau f(x) = a^x

Grafik fungsi eksponen dapat dibuat dengan bantuan nilai-nilai fungsi. Secara umum, grafik fungsi eksponen sebagai berikut:

f(x) = a^x untuk a > 1

f(x) = a^x untuk 0 < a < 1

sifat fungsi eksponen

Fungsi eksponen memiliki sifat-sifat berikut:

  • Kurva terletak diatas sumbu x
  • Memotong tegak lurus sumbu hanya dititik (0,1)
  • Mempunyai asimtot datar Y = 0
  • Monoton naik dari kiri kekanan untuk a > 1
  • Monoton turun dari kiri kekanan untuk 0 < a < 1
  • Mempunyai fungsi invers

Contoh Soal Eksponen dan Bentuk Akar dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukanlah bentuk sederhana dari bentuk eksponen berikut:

\frac{4(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{3+2\sqrt{2}}

(UN 2010)

Pembahasan

\frac{4(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{3+2\sqrt{2}} = \frac{4(1-2)}{ 3+2\sqrt{2}}

=\frac{-4}{3+2\sqrt{2}}

=\frac{-4}{3+2\sqrt{2}} \times \frac{3-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}

=\frac{-4(3-2\sqrt{2})}{3^2-(2\sqrt{2})^2}

=\frac{-4(3-2\sqrt{2})}{9-8}

= -12 + 8 \sqrt{2}

Contoh Soal 2

Tentukan bentuk sederhana dari eksponen berikut:

\frac{(2^{\frac{5}{12}})(12^{\frac{5}{6}})}{(8^{\frac{8}{4}})(6^{\frac{1}{3}})}

(UN 2010)

Pembahasan

\frac{(2^{\frac{5}{12}})(12^{\frac{5}{6}})}{(8^{\frac{8}{4}})(6^{\frac{1}{3}})} = \frac{(2^{\frac{5}{12}})(2^2 \cdot 3)^{\frac{5}{6}}}{(2^{3(\frac{3}{4})})(2 \cdot 3)^{\frac{1}{3}}}

= \frac{(2^{\frac{5}{12}})(2^{2(\frac{5}{6})})(3^{\frac{5}{6}})}{(2^{\frac{9}{4}})(2^{\frac{1}{3}})(3^{\frac{1}{3}})}

= \frac{(2^{\frac{5}{12} + \frac{20}{12}})(3^{\frac{5}{6}})}{(2^{\frac{27}{12} + \frac{4}{12}})(3^{\frac{1}{3}})}

= \frac{(2^{\frac{25}{12}})(3^{\frac{5}{6}})}{(2^{\frac{31}{12}})(3^{\frac{2}{6}})}

= (2^{\frac{25}{12} - \frac{31}{12}})(3^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}})

= 2^{- \frac{6}{12}} \cdot 3^{\frac{3}{6}} = 2^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}

Contoh Soal 3

Jika diketahui sebuah fungsi eksponen f(x) = 3^x + 1, buatlah grafik untuk fungsi tersebut

Pembahasan

Berdasarkan fungsi yang diketahui f(x) = 3^x + 1, disubstitusikan beberapa nilai x yang akan mewakili fungsi di dalam grafik dan didapat nilai f(x) sebagai berikut:

x f(x)
-2 1.11
-1 1.33
0 2
1 4
2 10
3 28

 

Dari data tersebut, grafik fungsi eksponen dapat ditentukan menjadi:

contoh soal eksponen dan pembahasan

Artikel: Eksponen, Perpangkatan, & Bentuk Akar
Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Trigonometri
  2. Integral
  3. Logika Matematika