Fungsi dalam Matematika: Pengertian, Relasi, Fungsi Komposisi, Fungsi Invers, dan Contoh Soal

Penjelasan tentang Relasi dan Fungsi

Pengertian Fungsi: Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B.

Suatu fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi:

f:A \rightarrow B

Dengan:

  • A disebut domain (daerah asal) dinotasikan D_f
  • B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan K_f
  • {y \epsilon B \mid(x,y) \epsilon R, x \epsilon A} disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan R_f
Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Turunan Fungsi Aljabar & Trigonometri
Persamaan Garis Lurus

Sebagai contoh:

Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3
 relasi dan fungsi  bukan fungsi  pengertian fungsi
Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di B Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di B Meupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B

Sifat-sifat Fungsi

  • Fungsi surjektif

Pada fungsi f:A \rightarrow B, jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau R_f = B, atau setiap y \epsilon B terdapat x \epsilon A sedemikian sehingga f(x) = y. Contoh:

surjektif

  • Fungsi Into

Pada fungsi f:A \rightarrow B, jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.

Contoh:

into

  • Fungsi Injektif

Pada fungsi f:A \rightarrow B, jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.

Contoh:

injektif

  • Fungsi Bijektif

Jika fungsi f:A \rightarrow B merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

Contoh:

bijektif

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Gerak Melingkar
Persamaan Reaksi
Puisi Lama

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.

Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa f(x). Kemudian f(x) dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa g(f(x)).

Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan g o f sehingga:

(g o f)(x) = g(f(x))

dengan syarat: R_f \cap D_g \not= {\O}.

fungsi komposisi

Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika f:A \rightarrow B, g:B \rightarrow C, dan h:C \rightarrow D, maka h o g o f:A \rightarrow D dan dinyatakan dengan:

(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif (g o f)(x) \not= (f o g)(x)

Operasi bersifat asosiatif: (h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)

Contoh:

Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7, maka g(x) adalah

(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7

2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7

g(x) = x^2 + 3x - 5

Fungsi Invers

Jika fungsi f:A \rightarrow B memiliki relasi dengan fungsi g:B \rightarrow A, maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis f^{-1} atau g = f^{-1}. Jika f^{-1} dalam bentuk fungsi, maka f^{-1} disebut fungsi invers.

fungsi invers

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi y = f(x) dapat ditempuh dengan cara berikut:

Ubah persamaan y = f(x) ke dalam bentuk x = f(y)

Gantikan x dengan f^{-1}(y) sehingga f(y) = f^{-1}(y)

Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa f^{-1}

Contoh:

Menentukan invers dari =x^2 - 2x + 4:

y = [x^2 - 2x + 4

y = (x - 1)^2 + 3

(x - 1)^2 = y - 3

x - 1 = \pm \sqrt{y - 3}

x = \pm \sqrt{y -3 + 3}

Sehingga inversnya adalah

f^{-1}(x) =\pm \sqrt{y - 3 + 1} dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Echinodermata
Simple Past Tense
Hukum Kekekalan Energi

Rumus Fungsi Invers

Rumus Fungsi Invers

JENIS FUNGSI  f(x)  f^{-1}(x)
Fungsi linier  f(x) = ax + b  f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}
Fungsi pecahan linier  f(x) =\frac{ax+b}{cx+d}  f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}
Fungsi Irrasional  f(x) =\sqrt[n]{ax+b}  f^{-1}(x) = \frac{x^n-b }{a}
Fungsi eksponen  f(x) = a^x  f^{-1}(x) = ^a\log x
Fungsi logaritma  f(x) = ^a\log x  f^{-1}(x) = a^x

Contoh

JENIS FUNGSI  f(x)  f^{-1}(x)
Fungsi linier  f(x) = 2x+3  f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}
Fungsi pecahan linier  f(x) = \frac{2x+3}{4x+5}  f^{-1}(x) = \frac{-5x+3}{4x-2}
Fungsi Irrasional  f(x) = \sqrt[4]{2x+3}  f^{-1}(x) = \frac{x^4-3}{2}
Fungsi eksponen  f(x) = 2^x  f^{-1}(x) = ^2\log x
Fungsi logaritma  f(x) = ^2\log x  f^{-1} = 2^x

Invers dari Fungsi Komposisi

invers dari fungsi komposisi

Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh f(x) = 2x + 3, g(x) = 3x - 5, dan  h(x) = x =1.

Jika f^{-1},g^{-1},h^{-1} adalah invers fungsinya yaitu f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}, g^{-1}(x) = \frac{x+3}{3}, dan h^{-1}(x) = x - 1, maka dirumuskan beserta contohnya:

  • (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)

(g \circ f)^{-1}(x) =f^{-1}(g^{-1}(x))

(g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(g^{-1}(x))-3}{2} = \frac{\frac{x+5}{3}-3}{2} = \frac{\frac{x-4}{3}}{2} = \frac{2x-8}{3}

  • (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)

(f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))

(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{\frac{x-3}{2}+5}{3} = \frac{\frac{x+7}{2}}{3} = \frac{3x+21}{2}

  • (h \circ g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1})(x)

(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(h^{-1}(x)))

(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1} (\frac{(x-1)+5}{3}) = f^{-1} (\frac{x+4}{3})

(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(\frac{x+4}{3})-3}{2} = \frac{(\frac{x-5}{3})}{2} = \frac{2x-10}{3}

  • (f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)

(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1} (g^{-1}(f^{-1}(x)))

(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1}(\frac{3x+21}{2})

(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (\frac{3x+21}{2}) - 1 = \frac{3x+19}{2}

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:

  • Jika diketahui g(x) dan (f \circ g)(x) atau (g \circ f)(x), maka (f \circ g \circ g^{-1})(x) = (g^{-1} \circ g \circ f)(x) = f(x)
  • Jika diketahui f(x) dan (f \circ g)(x) atau (g \circ f)(x), maka (f^{-1} \circ f \circ g)(x) = (g \circ f \circ f^{-1})(x) = g(x)
  • Jika diketahui f(x),g(x), dan (f \circ g \circ h)(x), maka (f \circ g)^{-1}((f \circ g \circ h)(x))
  • Jika diketahui f(x), h(x), dan (f \circ g \circ h)(x), maka f^{-1}((f \circ g \circ h)(h^{-1}(x)))

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Jika f(x) = \frac{x}{x-1}, x \not= 1 dan g(x) = f(x^2 +1), tentukanlah nilai g(f(x))

Pembahasan

g(x) = f(x^2+1)

g(x) = \frac{(x^2+1)}{(x^2+1)-1} = \frac{x^2+1}{x^2}

g(x) = 1+ \frac{1}{x^2}

Maka:

g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(f(x))^2}

g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(\frac{x}{x-1})^2} = 1 + (\frac{x-1}{x})^2 = 1 + \frac{x^2-2x+1}{x^2}

g(f(x)) = 2 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}

Contoh Soal Fungsi Invers

Diketahui f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x - 3), tentukan f(x).

Pembahasan

f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x -3)

f^{-1}(y) = \frac{1}{2}(y -3)

x = \frac{1}{2}(y - 3)

2x = (y - 3)

y = 2x + 3

Maka,

f(x) = 2x + 3

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers

Misalkan f(x) = x + 2 untuk x > 0 dan  g(x) = \frac{15}{x} untuk  x > 0. Jika (f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1, tentukan nilai (x)(x).

Pembahasan

f(x) = x + 2 \rightarrow f^{-1}(x) = x - 2

g(x) = \frac{15}{x} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{15}{x}

Maka,

(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1

f^{-1}(g^{-1}(x)) = 1

f^{-1}(\frac{15}{x}) = 1

(\frac{15}{x}) - 2 = 1

x = 5

Mengapa Harus Belajar Fungsi, Relasi, Fungsi Invers, dan Fungsi Komposisi?

  1. Fungsi: Dasar dari Semua Perhitungan
    • Fungsi adalah konsep dasar yang digunakan dalam hampir semua cabang matematika. Menguasai fungsi berarti kamu bisa mengerti dan menerapkan prinsip-prinsip matematika dalam berbagai situasi, seperti menghitung bunga bank, memprediksi pertumbuhan populasi, atau bahkan dalam pemrograman komputer.
  2. Relasi: Memahami Hubungan Antara Hal-Hal
    • Belajar tentang relasi membantu kamu mengerti bagaimana dua set atau lebih hal saling berhubungan. Ini penting, misalnya, dalam statistik saat mengkorelasikan data, atau dalam ilmu sosial untuk memahami hubungan antarvariabel.
  3. Fungsi Invers: Balik Arah Pemikiran
    • Fungsi invers mengajarkan kamu untuk ‘membalik’ pemikiran. Dalam kehidupan nyata, ini seperti menemukan solusi dari masalah yang ada. Misalnya, kalau kamu tahu akhir dari suatu proses, bagaimana cara menemukan awal proses tersebut? Ini berguna dalam berbagai bidang, seperti kriptografi atau pemecahan masalah logis.
  4. Fungsi Komposisi: Menggabungkan Langkah-Langkah
    • Menggabungkan dua fungsi atau lebih untuk membuat fungsi baru (komposisi) adalah skill penting. Ini mirip dengan mengikuti serangkaian instruksi untuk mencapai hasil akhir. Dalam bidang seperti komputasi, fisika, dan rekayasa, fungsi komposisi digunakan untuk memodelkan proses yang kompleks.

Belajar tentang semua ini bukan hanya tentang matematika, tapi juga tentang melatih cara berpikir kamu secara logis dan sistematis, yang nantinya sangat berguna dalam studi lanjutan dan di dunia kerja. Plus, ini juga membantu kamu mengerti lebih dalam tentang dunia di sekitar kita. Jadi, semangat belajar ya!

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Rumus Trigonometri
  2. Peluang, Permutasi, & Kombinasi
  3. Translasi, Rotasi, & Dilatasi