Integral Substitusi dan Integral Parsial

Integral Substitusi dan Integral Parsial merupakan materi lanjutan dari pengertian integral dan integral tak tentu, serta konsep dasar integral lainnya. Silakan klik hyperlink tersebut jika anda ingin mempelajarinya terlebih dahulu.

Integral Substitusi

Teknik Integral Substitusi Dalam Fungsi Aljabar

Pada teknik ini, bentuk fungsi f(x) dapat diubah menjadi bentuk k \cdot (g(x))^n \cdot g^I(x). Perhatikan bahwa jika U = g(x), maka  \frac{dU}{dx}g^I(x) atau dU = g^I(x)\, dx.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Fungsi Kuadrat
Vektor

Jika

\int f(x)\, dx = k \cdot \int(g(x))^n \cdot g^I(x) dx

Maka, integral ini dapat diselesaikan dengan memisalkan U = g(x) dan U = g^I(x)dx sehingga diperoleh persamaan:

\int f(x)\, dx = k \cdot \int(g(x))^n \cdot g^I(x)dx=k \cdot \int(U)^n \cdot dU

= \frac{k}{n+1}U^{(n+1)}+C

untuk n \neq -1.

Jika saja n = -1, maka:

k \cdot \int(U)^{-1} \cdot dU = \ln U+C.

Sebagai contoh:

Jika f(x)=(x^4+5)^3 x^3, untuk mendapat integralnya dengan memisalkan:

x^4+5 = U dan \frac{dU}{dx}=4x^3

sehingga x^3 dx=\frac{1}{4} dU.

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

\int(x^4+5)^3x^3\, dx=\int(U)^3 \cdot \frac{1}{4} dU

=\frac{1}{16}U^4+C

Jika hasil integral diatas disubstitusi dengan permisalan U di peroleh:

\frac{1}{16}U^4+C=\frac{1}{16}(x^4+5)^4+C

Contoh diatas merupakan teknik substitusi pada integral tak tentu. Pada integral tertentu yang memiliki nilai pada interval a \le b \le c tertentu, maka interval tersebut harus disubstitusi ke dalam interval baru untuk variabel U. Sebagai contoh jika \int^2_0 (x^4+5)^3x^3\, dx, untuk mendapat integralnya dengan memisalkan:

x^4+5=U dan \frac{dU}{dx} = 4x^3

Sehingga x^3\, dx=\frac{1}{4}\, dU.

Untuk menciptakan persamaan integral dalam U, maka interval  0\le x\le 2 dirubah menjadi :

  • x=0\to U=x^4+5=0^4=5=5
  • x=2 \to U=x^4+5=2^4+5=21

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

\int^2_0(x^4+5)^3x^3\, dx=\int^{21}_5 (U)^3 \cdot \frac{1}{4}\, dU

=[\frac{1}{16}U^4]^{21}_5=\frac{1}{16}21^4-\frac{1}{16}5^4

=\frac{1}{16}(194481-625)=12116

Teknik Integral Substitusi Dalam Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri sebagai integran, untuk beberapa kasus, tidak bisa langsung diintegralkan seperti rumus integral awal. Sehingga perlu juga dilakukan perubahan integran. Perubahan pada fungsi trigonometri dapat dilakukan sesuai dengan persamaan berikut:

  • \sin^2 A+\cos^2A=1
  • \tan^2A+1=\sec^2A
  • \cot^2A+1=\csc^2A
  • \sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A
  • \sin^2 A=\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2A
  • \cos^2 A=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2A
  • \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin (A+B) + \sin (A-B)]
  • \cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin (A+B) - \sin (A-B)]
  • \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos (A+B) + \cos (A-B)]
  • \sin A \sin B = -\frac{1}{2}[\cos (A+B) - \cos (A-B)]

Sama hal dengan fungsi aljabar, fungsi trigonometri dapat menggunakan teknik substitusi ini jika integran terdiri dari perkalian sebuah fungsi dengan fungsi turunannya sendiri. Pengoperasian juga sama dengan fungsi aljabar. Sebagai contoh, contoh jika \int 2x \sin (x^2+1)\, dx, untuk mendapat integralnya dengan memisalkan:

x^2+1=U dan \frac{dU}{dx}=2x

sehingga 2x dx = dU.

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

\int 2x \sin (x^2+1)\, dx=\int \sin U\, dU= - \cos U+C

Jika hasil integral diatas disubstitusi dengan permisalan U, diperoleh:

- \cos U+C=- \cos(x^2+1)+C

Atau jika fungsi yang diturunkan adalah fungsi trigonometrinya langsung, maka sebagai contoh \int \sin x \cos^3x\, dx, mendapat integralnya dengan memisalkan:

\cos x = U dan \frac{dU}{dx} = - \sin x

sehingga sin x dx = – dU.

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi :

\int \sin x \cos^3 x\, dx=-\int U^3\, dU=-\frac{1}{4}U^4+C

Jika hasil integral diatas disubstitusi dengan permisalan U, diperoleh :

-\frac{1}{4}U^4+C=-\frac{1}{4}cos^4x+C

Teknik Substitusi Dengan integran \sqrt[n]{ax+b}

Pada teknik ini, dapat dimisalkan y^n=ax+b dan selanjutnya menyelesaikan integral dalam fungsi f(y) menggunakan teknik substitusi seperti di awal. Contoh \int x^2\sqrt{x+3}\, dx, dimisalkan :

y^2 = x+3 atau y^2-3=x

sehingga \frac{dx}{dy}=2y atau 2y dx = dy.

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

\int x^2\sqrt{x+3}\, dx = \int(y^2-3)^2y \cdot 2y\, dy

=\int(y^4-6y^2+9) \cdot 2y^2\, dy

=\int2y^6-12y^4+18y^2\, dy=\frac{2}{7}y^7-\frac{12}{5}y^5+6y^3+C.

Jika hasil integral diatas disubstitusi dengan permisalan y, diperoleh:

= \frac{2}{7}(x+3)^{7/2}-\frac{12}{5}(x+3)^{5/2}+6(x+3)^{3/2}+C

Teknik Substitusi Dengan integran \sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2}, atau \sqrt{x^2-a^2}

Integral dengan integran dalam bentuk akar diatas dapat dikerjakan dengan memisalkan dari bentuk diatas sebagai berikut:

integral substitusi dan parsial

Integral Parsial

Dalam pengintegralan, selain operasi biasa atau dengan teknik substitusi, ada teknik lain yaitu integral parsial. Teknik ini digunakan jika pada teknik sebelumnya tidak bisa digunakan. Teknik ini merupakan integral dari turunan hasil kali dua fungsi. Berikut ini adalah konsep integral parsial:

Jika y = U(x) . V(x), maka:

\frac{dy}{dx}=V(x) \cdot U',(x)+U(x) \cdot V',(x)

dy = v(x) \cdot U' (x)dx+U(x) \cdot V' (x)\, dx

Jika y diganti UV maka:

d(UV) = V(x) \cdot U' (x)\, dx+U(x) \cdot V'(x)\, dx

Karena diketahui bahwa U' (x) dx = dU dan V' (x) dx = dV, maka persamaan menjadi:

d(UV) = V . dU + U . dV

U . dV = d(UV) – V . dU

Dengan mengintegralkan kedua ruas dalam persamaan diatas, diperoleh:

Rumus ntegral parsial:

\int U \cdot dV = UV -\int V \cdot dU

Perlu diperhatikan untuk memilih U dan dV yang tepat agar pengintegralan memberikan hasil. (dV) harus dipilih yang dapat diintegralkan dengan rumus, sedangkan yang lain menjadi U.

Dalam integral parsial, terkadang bisa menurunkan U dan mengintegralkan dV secara berulang. Jika terjadi proses yang berulang, maka proses dapat diringkas. Sebagai contoh \int x^2 \cos x\, dx adalah:

integral parsial

Maka diperoleh hasil:

\int x^2 \cos x\, dx = (x^2 \cdot \sin x)-(2x \cdot - \cos x)+(2 \cdot - \sin x)+C

=x^2 \sin x+2x \cos x - 2 \sin x + C

Contoh Soal Integral Substitusi dan Parsial dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukanlah hasil dari \int \cos^2 2x \sin 2x\, dx.

Pembahasan 1:

Misalkan U = \cos 2x dan \frac{dU}{dx}=-2 \sin 2x, maka

dU = -2 sin 2x dx

-\frac{dU}{2}= \sin 2x\, dx

Sehingga,

\int \cos^2 2x \sin 2xdx=\int U^2 (-\frac{1}{2})dU =(-\frac{1}{2})(\frac{u^3}{3})=-\frac{u^3}{6}

Kemudian -\frac{u^3}{6} disubstitusi dengan nilai U menjadi :

-\frac{U^3}{6} = -\frac{\cos^3 2x}{6}

Contoh Soal 2

Tentukan hasil dari  \int\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}

Pembahasan 2:

Misalkan trigonometrinya adalah:

integral substitusi trigonometri

Nilai x = 3 \tan \theta dan dx = 3 \sec^2 \theta\, d \theta dan x^2 = 9 \sec^2 \theta.

Sehingga:

\int\frac{1}{\sqrt{9+x^2}}\, dx = \int\frac{1}{\sqrt{9+9 \sec^2\theta}}3 \sec^2\theta\, d\theta

=\int\frac{1}{3 \sec\theta}3 \sec^2\theta\, d\theta =\int \sec\theta\, d\theta

\int\frac{1}{\sqrt{9+x^2}}\, dx = \ln\mid \sec\theta + \tan\mid+C

Dengan segitiga diatas, nilai sec dan tan bisa diketahui. Sehingga:

\ln\mid \sec\theta + \tan\mid+C= \ln\mid \frac{\sqrt{9+x^2}}{3}+\frac{x}{3}\mid+C

= \ln\mid\frac{x+\sqrt{9+x^2}}{3}\mid+C= \ln\mid x+\sqrt{9+x^2}\mid- \ln\mid 3\mid+C

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Matriks
  2. Sistem Persamaan Linear
  3. Deret Aritmatika dan Geometri Tak Hingga