Suku Banyak

Suku banyak atau polinominal merupakan pernyataan matematika yang melibatkan penjumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variable dengan koefisien. Bisa dibilang polinominal merupakan bentuk aljabar dengan pangkat peubah bilangan bulat positif. Suku banyak dalam x berderajat n mempunyai bentuk umum:

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_2x^2+a_1x^1+a_0

Dengan:

  • a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, a-2, a_1 dan a_0 adalah konstanta real
  • a_n koefisien x^n,a_{n-1} koefisien x^{n-1},a_1 koefisien x^1 dan seterusnya
  • a_0 disebut suku tetap
  • n bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak
Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Bunga Tunggal & Bunga Majemuk
Rumus Turunan Aljabar

Nilai Suku Banyak

Suku banyak dalam x berderajat n dapat ditulis dalam bentuk fungsi sebagai berikut:

f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_2x^2+a_1x^1+a_0

Nilai f(x) untuk x = k adalah f(k). Nilainya dapat ditentukan dengan dua strategi, yaitu:

Substitusi

Misalkan nilai f(x) = x^5 - 2x^4 +3x^3 + 4x^2 - 10x^1 + 3 untuk x = -2 dengan k \epsilon R dapat ditentukan dengan mensubstitusi menjadi:

f(-2) = (-2)^5 - 2(-2)^4 + 3(-2)^3 + 4(-2)^2 - 10(-2)^1 + 3

f(-2) = -32 - 32 - 24 + 16 + 20 + 3

f(-2) = -49

Skema (bagan)

Misalkan f(x) = x^4 - 4x^2 - 7x^1 - 60 untuk x = 5. Yang pertama dilakukan adalah mengurutkan penulisan kiri ke kanan mulai dari pangkat tertinggi. Yang ditulis dalam bagan adalah koefisien dari masing-masing derajat suku banyak.

bagan suku banyak

Tanda(“↓”) menunjukan penjumlahan baris 1 dan baris 2 yang menghasilkan baris hasil. Tanda (“↗”) menunjukan perkalian baris hasil dengan x = 5 dan menghasilkan baris 2. Dari cara ini diperoleh f(5) = 500.

Jika f(x) dan g(x) berturut-turut adalah suku banyak berderajat m dan n, dengan m > n maka operasinya:

  1. f(x) \pm g(x) mempunyai derajat maksimum m
  2. f(x) \times g(x) mempunyai derajat (m+n)

Pembagian Suku Banyak

Misalkan f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0 dibagi dengan (x - k) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa pembagian S, diperoleh hubungan:

f(x) = (x - k) \times H(x) + S

Untuk mendapat hasil bagi H(x) dan sisa S digunakan 2 metode yaitu:

Pembagian Bersusun

Pembagian dengan cara bersusun (biasa) sebagai berikut:

pembagian bersusun suku banyak

Pembagian Sintetik (Horner)

Pembagian dengan cara ini menggunakan bagan seperti berikut:

metode horner

Berdasarkan kedua penyelesaian tersebut, didapat hasil pembagian H(x) = a_2x + a_2k + a_1 dan sisa pembagian S = a_2k^2 + a_1k + a_0.

Pembagian dengan (ax + b)

Misalkan k = -\frac{b}{a}, sehingga bentuk (x - k) menjadi (x + \frac{b}{a}). Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x + \frac{b}{a}) memberikan hasil H(x) dan sisa S, maka terdapat hubungan:

f(x) = (x + \frac{b}{a}) \times H(x) + S = (ax + b) \times (\frac{H(x)}{a}) + S

Dengan demikian f(x) dibagi dengan (ax + b) memberikan hasil bagi \frac{H(x)}{a} dan sisa S. Koefisien-koefisien \frac{H(x)}{a} dan S ditentukan dengan dua jenis cara pembagian sebelumnya dengan mengganti k = -\frac{a}{b}.

Pembagian dengan (ax^2 + bx + c)

Pembagian suku banyak f(x) oleh pembagi dalam bentuk (ax^2 + bx + c) yang tidak bisa difaktorkan, dapat dilakukan dengan metode pembagian bersusun. Sedangkan jika pembagi dapat difaktorkan, penyelesaian dapat dilakukan dengan metode horner. Bentuk umum pembagian ini:

f(x) = (ax^2 + bx + c) \times H(x) + S

Misalkan (ax^2 + bx + c) dapat difaktorkan menjadi P_1 dan  P_2 sehingga (ax^2 + bx + c) = P_1.P2, maka:

f(x) = P_1 \times P_2 \times H(x) + S

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah:

  1. Melakukan pembagian suku banyak f(x) oleh P_1 dengan hasil H_0(x) dan sisanya S_1.
  2. Kemudian melakukan pembagian H_0(x) oleh P_2 dengan hasil H(x) dan sisanya S_2.
  3. Hasil bagi f(x) oleh (P_1 \times P_2) adalah H(x) sedangkan sisanya S(x) = P_1 \times S_2 + S_1. Ingat jika P_1 atau P_2 membentuk (ax + b), perlu untuk membagi H(x) atau H_0(x) dengan a untuk mendapatkan hasil baginya.

Teorema Sisa

Misalkan f(x) dibagi P(x) dengan hasil bagi H(x) dan sisa H(x , maka diperoleh hubungan:

f(x) = P(x) \times H(x) + S(x)

Jika f(x) berderajat n dan P(x) pembagi berderajat m, dengan m \le n, maka:

  • H(x) berderajat (n - m)
  • S(x) berderajat maksimum (m - 1)

Teorema untuk sisa adalah:

  1. Jika f(x) berderajat n dibagi dengan (x - k) maka sisanya S = f(k). Sisa f(k) adalah nilai suku banyak untuk x = k.
  2. Jika f(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya S = f(-\frac{b}{a}). Sisa  f(-\frac{b}{a}) adalah nilai untuk x = -\frac{b}{a}.
  3. Pembagi berderajat m \ge 2 yang dapat difaktorkan maka sisanya berderajat (m - 1).

Contoh, polinominal 8x^3 - 2x + 5 dibagi dengan x + 2 memiliki sisa (S) berikut

S = f(k) = 8x^3 - 2x + 5

S = f(-2) = 8(-2)^3 - 2(-2)^2 + 5

S = -67

Teorema Faktor

Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak dengan (x - k) adalah faktornya jika dan hanya jika f(x) = 0. Teorema faktor dapat dibaca sebagai berikut:

  • Jika (x - k) faktor dari f(x), maka f(x) = 0.
  • Jika f(k) = 0, maka (x - k) merupakan faktor dari f(x).

Contoh, menentukan faktor-faktor dari f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6. Konstanta -6 memiliki faktor-faktor yang terdiri dari \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6. Dengan metode bagan di atas atau metode substitusi bisa diketahui nilai agar f(x) = 0.

f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = 0 (faktor)

f(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - 5(1) - 6 = -8 (bukan faktor)

f(2) = (2)^3 + 2(2)^2 - 5(2) - 6 = 0 (faktor)

f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) - 6 = 0 (faktor)

Sehingga faktor-faktornya adalah (x+1), (x - 2), dan (x + 3).

Akar-akar Persamaan Suku Banyak

(x - k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika k adalah akar dari persamaan f(x) = 0.

Jika a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x^1 + a_0 dengan p≠0 adalah nilai nol dari f(x) maka p adalah pembagi a_0.

Jika f(x) memiliki akar \frac{p}{q} (pecahan murni) dengan q \ne 0, maka p adalah pembagi a_0 dan q adalah pembagi a_n.

Sifat-sifat akar suku banyak:

1. Persamaan kuadrat

Jika x_1 dan x_2 adalah akar persamaan ax^2 + bx + c = 0, maka

  • x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
  • x_1.x_2 = \frac{c}{a}

2. Persamaan pangkat tiga

Jika x_1,x_2 dan x_3 adalah akar persamaan ax^3 + bx^3 + cx + d = 0, maka:

  • x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}
  • x_1.x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a}
  • x_1.x_2.x_3 = -\frac{d}{a}

3. Persamaan pangkat empat

Jika x_1,x_2,x_3 dan x_4 adalah akar persamaan ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, maka:

  • x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}
  • x_1.x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 = \frac{c}{a}
  • x_1.x_2.x_3 + x_1.x_2.x_4 + x_1.x_3.x_4 + x_2.x_3.x_4 = -\frac{d}{a}
  • x_1.x_2.x_3.x_4 = \frac{e}{a}

Contoh Soal Suku Banyak dan Pembahasan

Contoh Soal 1: Teorema Sisa

Suku banyak f(x) = 2x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0 dan g(x) = 2x^3 + x^2 + 2x + a = 0 dibagi dengan 2x - 3 masing-masing menghasilkan sisa yang sama. Tentukan nilai a.

Pembahasan

  • f(x) = 2x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0

f(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3 + 4(\frac{3}{2}) + 4

= \frac{27}{4} + \frac{9}{4} + 6 + 4

= 19

  • g(x) = 2x^3 + x^2 + 2x + a = 0

g(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3 + (\frac{3}{2})^2 + 2(\frac{3}{2}) + a

= \frac{27}{4} + \frac{9}{4} + 3 + a

=12 + a

  • f(x) = g(x)

19 = 12 + a

a = 7

Contoh Soal 2: Teorema Faktor

Tentukan nilai a dan b jika x^3 - ax^2 + 5x + b habis dibagi x^2 - 2x - 3.

Pembahasan:

x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)

Disubstitusi kedalam x^3 - ax^2 + 5x + b = 0 menjadi :

f(3) = 3^3 - a(3)^2 + 5(3) + b = 0

0 = 42 - 9a + b

-42 = -9a + b……………(1)

f(-1) = (-1)^3 - a(-1)^2 + 5(-1) + b = 0

0 = -1 - a - 5 + b

6 = -a + b……………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

contoh soal suku banyak

a = 6

b = 6 + a = 6 + 6 = 12

Contoh Soal 3: Akar-akar Persamaan Suku Banyak

Diberikan persamaan x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0 dengan akar-akarnya x_1,x_2 dan

x_3. Jika 2x_1 = -x -x_3. Carilah nilai p dan akar-akarnya.

Pembahasan

2x_1 = -x_2 - x_3 = -(x_2 +x_3)

Maka:

x_1 + x_2 +x_3 = -\frac{b}{a}

x_1 - 2x_1 = -\frac{b}{a}

x_1 = \frac{b}{a} = \frac{-3}{1} = -3

Kemudian disubstitusi dalam persamaan suku banyak:

x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0

(-3)^3 - 3(-3)^2 - 10(-3) + p = 0

-27 -27 + 30 + p = 0

p = 24

Kemudian persamaan menjadi:

x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0

Jika dibagi (x+ 3) menjadi:

teorema sisa dan teorema faktor

(x+ 3)(x^2 - 6x + 8) = 0

(x + 3)(x - 2)(x - 4) = 0

Sehingga:

x_1 = -3

x_2 = 2

x_3 = 4

p = 24

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Peluang (Matematika)
  2. Trigonometri
  3. Logaritma