Matriks – Penjumlahan, Perkalian, Determinan, Invers

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

(Catatan: Untuk materi dasar tentang matriks, silakan buka di materi Matriks Dasar – Pengertian, Jenis, Transpose, dsb.)

Dua matriks atau lebih, dapat dijumlakan hanya jika memiliki ordo yang sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berposisi sama. Contoh:

Jika \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix},

maka:

A + B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1+3 & 4+6 \\ 2+4 & 5+7 \\ 3+5 & 6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 6 & 12 \\ 8 & 14 \end{pmatrix}

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Logika Matematika
Transformasi Geometri

Sama halnya dengan penjumlahan, pengurangan dapat dilakukan hanya jika dua matriks atau lebih, memiliki ordo yang sama. Pengurangan dilakukan terhadap elemen-elemen yang berposisi sama.

Contoh:

Jika \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix},

maka:

B - A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 3-1 & 6-4 \\ 4-2 & 7-5 \\ 5-3 & 8-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

Sifat dari penjumlahan dan pengurangan matriks:

  • A + B = B + A
  • (A + B) + C = A + (B + C)
  • A – B ≠ B – A

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat atau dengan matriks lain. Kedua perkalian tersebut memiliki syarat-syarat masing-masing.

Perkalian Matriks dengan bilangan bulat

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan bilangan r, maka r.A = (r.a_{ij}). Contoh:

Jika \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} dan bilangan r = 2, maka:

r.A = 2 . \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.1 & 2.4 \\ 2.2 & 2.5 \\ 2.3 & 2.6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 10 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}

Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan matriks dapat dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut sifat-sifat perkaliannya:

  • r(A + B) = rA + rB
  • r(A – B) = rA – rB

Perkalian dua matriks

Perkalian antara dua matriks yaitu matriks A dan B, dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman dengan matriks B, sehingga:

perkalian matriks

Elemen-elemen matriks C_{(m \times s)} merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:

perkalian elemen matriks

Misalkan matriks A memiliki ordo (3 x 4) dan matriks B memiliki ordo (4 x 2), maka matriks C memiliki ordo (3 x 2). Elemen C pada baris ke-2 dan kolom ke-2 atau a22 diperoleh dari jumlah hasil perkalian elemen-elemen baris ke-2 matriks A dan kolom ke 2 matriks B. Contoh:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}

maka:

A \cdot B = C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} a_{14}b_{41}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} a_{14}b_{42}) \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} a_{24}b_{41}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} a_{24}b_{42}) \\ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} a_{34}b_{41}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} a_{34}b_{42}) \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix}(2.1 + 1.3 + 4.2 + 3.1) & (2.3 + 1.2 + 4.5 + 3.4) \\ (2.1 + 5.3 + 1.2 + 2.1) & (2.3 + 5.2 + 1.5 + 2.4) \\ (1.1 + 3.3 + 2.2 + 2.1) & (1.3 + 3.2 + 2.5 + 2.4) \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 16 & 40 \\ 21 & 29 \\ 16 & 27 \end{pmatrix}

Perlu diingat sifat dari perkalian dua matriks bahwa:

A x B ≠ B x A

Sebagai pembuktian, diketahui A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} maka:

AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 13 \\ 7 & 14 \end{pmatrix}

BA = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 9 \\ 11 & 10 \end{pmatrix}

Terbukti bahwa A x B ≠ B x A. Ada sifat-sifat lain dari perkalian matriks dengan bilangan atau dengan matriks lain, sebagai berikut:

  • k(AB) = (kA)B
  • ABC = (AB)C = A(BC)
  • A(B + C) = AB + AC
  • (A + B)C = AC + BC

Determinan Matriks

Determinan dari suatu matriks A diberi notasi tanda kurung, sehingga penulisannya adalah |A|. Determinan hanya bisa dilakukan pada matriks persegi.

Determinan matriks ordo 2×2

Jika A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} maka determinan A adalah:

|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Determinan matriks ordo 3×3 (aturan Sarrus)

Jika A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} maka determinan A adalah:

determinan matriks

= aei + bfg + cdg – ceg – afh – bdi

Determinan matriks memiliki sifat-sifat berikut:

1. Determinan A = Determinan AT

2. Tanda determinan berubah jika 2 baris/2 kolom yang berdekatan dalam matriks ditukar

sifat sifat determinan matriks

3. Jika suatu baris atau kolom sebuah determinan matriks memiliki faktor p, maka p dapat dikeluarkan menjadi pengali.

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ (2.1) & (2.3) & (2.4) \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix}

4. Jika dua baris atau dua kolom merupakan saling berkelipatan, maka nilai determinannya adalah 0.

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3[(1.2) - (2.1)] = 0

5. Nilai determinan dari matriks segitiga atas atau bawah adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal saja.

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} = (1.6.2) = 12

Invers Matriks

Suatu matriks A memiliki invers (kebalikan) jika ada matriks B yang dapat membentuk persamaan AB = BA = I, dengan I adalah matriks identitas. Invers dari suatu matriks berordo (2 x 2) seperti A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} dapat dirumuskan sebagai:

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Invers matriks memiliki sifat-sifat berikut:

  • AA-1 = A-1A = I
  • (A-1)-1 = A
  • (AB)-1 = B-1A-1
  • Jika AX = B, maka X = A-1B
  • Jika XA = B, maka X = BA-1

Contoh Soal Matriks dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Suatu perkalian matriks \begin{pmatrix} 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} menghasilkan matriks nol. Tentukan nilai x yang memenuhui persamaan tersebut!

Pembahasan:

\begin{pmatrix} 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = 0

\begin{pmatrix}6 - 3x & -2 + x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = 0

6 - 3x + (-2 + x)x = 0

x^2 - 2x - 3x + 6 = 0

x^2 - 5x + 6 = 0

(x-2)(x-3)

Maka nilai x yang memenuhi adalah x1 = 2 dan x2 = 3.

Contoh Soal 2

Jika matriks \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} dan \begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix} saling invers, tentukan nilai x!

Pembahasan:

Diketahui bahwa kedua matriks tersebut saling invers, maka berlaku syarat AA-1 = A-1A = I.

Sehingga:

\begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 9(x-1) - 7x & 9(x-12) + 7(x+4) \\ 5(x-1) - 4x & 5(x-12) + 4(x+4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Sehingga pada elemen baris ke-1 kolom ke-1 memiliki persamaan:

9(x – 1) – 7x = 1

9x – 9 – 7x = 1

2x = 10

x = 5

Artikel: Matriks – Perkalian, Determinan, Invers, Rumus & Contoh Soal
Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Pengertian, Rumus, dan Operasi Vektor
  2. Persamaan Kuadrat
  3. Trigonometri