Kuartil, Desil, Simpangan Baku, Varian, dsb

Kuartil (Q)

Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Terdapat tiga kuartil, yaitu kuartil bawah (Q_1), kuartil tengah (Q_2) atau median, dan kuartil atas (Q_3). Kuartil didapat dengan cara :

  1. Mengurutkan data dari nilai terkecil hingga terbesar
  2. Menentukan median atau (Q_2)
  3. Menentukan (Q_1) (median data kurang dari (Q_2)) dan (Q_3) (median data lebih dari (Q_2))
Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Persamaan Trigonometri
Mean Median Modus

Contoh, data yang diurutkan:

rumus cara mencari kuartil

  • (Q_2) = 4
  • (Q_1) = \frac{1}{2}(2+3) = 2.5
  • (Q_3) = \frac{1}{2}(6+6) = 6

Untuk data berkelompok, kuartil dihitung dengan rumus:

Q_i = t_b + (\frac{\frac{i}{4}n-f_k}{f})c

Dengan:
t_b = tepi bawah kelas kuartil
n = banyak data
f_k = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
f = frekuensi kumulatif kelas kuartil
c = panjang kelas
i = 1,2,3

(Contoh ada di soal 1 di bawah)

Desil

Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Letak desil bisa direntukan dengan rumus:

D_i terletak pada nilai ke – \frac{i(n+1)}{10}

Contoh, data yang diurutkan:

cara mencari dan rumus desil

  • D_3 ada di nilai ke- \frac{i(n+1)}{10} = \frac{3(15)+1}{10} = 4.8, sehingga

D_3 = x_4 + 0.8(x_5 - x_4) = 6 + 0.8(6 - 6) = 6

  • D_6 ada di nilai ke-\frac{i(n+1)}{10} = \frac{6(15 + 1)}{10} = 9.6, sehingga

D_6 = x_9 + 0.6(x_10 - x_9) = 7 + 0.6(8 - 7) = 7.6

Untuk data berkelompok, desil didapat dengan rumus berikut :

D_i = t_b + (\frac{\frac{i}{10}n-f_k}{f})c

Dengan:
t_b = tepi bawah kelas desil
n = banyak data
f_k = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil
f = frekuensi kumulatif kelas desil
c = panjang kelas
i = 1,2,3,…,9

(Contoh ada di soal 1)

Jangkauan (Rentang), Hamparan, dan Simpangan Kuartil

Jangkauan data (J) adalah selisih antara data terbesar dan data terkecil.

J = x_{max}-x_{min}

Hamparan atau jangkauan antar kuartil (H) adalah selisih antara kuartil ketiga dan pertama

H = Q_3 - Q_1

Simpangan kuartil Q_d adalah setengah kali panjang hamparan

Q_d = \frac{1}{2}(Q_3 - Q_1)

(Contoh di Soal 1 dan Soal 2)

Simpangan Rata-rata

Simpangan rata-rata (SR) merupakan jarak rata-rata suatu data terhadap rataannya. Simpangan rata-rata dapat dicari dengan rumus:

SR = \frac{1}{2} \sum \limits^N_{I=1}\mid x_i - \bar x\mid

Dengan:
n = banyak data
x_i = nilai data ke-i
\bar x = nilai rata-rata

(Contoh di Soal 2)

Sedangkan untuk data berkelompok, rumus simpangan rata-rata (SR) adalah :

SR = \frac{1}{n} \sum \limits^k_{i=1}f_i\mid x_i - \bar x\mid

Dengan:

k = banyak kelas
x_i = titik tengah kelas ke-i
\bar x = nilai rata-rata
n=\sum^k_{i=1}f_i

(Contoh di Soal 3)

Ragam

Ragam atau varian (S^2) menyatakan rata-rata kaudrat jarak suatu data terhadap rataannya. Rumus untuk mendapatkan ragam atau varian adalah:

S^2 = \frac{1}{n} \sum \limits^n_{i=1}(x_i - \bar x)^2

Dengan:

n = banyak data
x_i = nilai data ke-i
\bar x = nilai rata-rata

(Contoh di Soal 2)

Sedangkan untuk Ragam atau varian (S^2) untuk data berkelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut:

S^2 = \frac{1}{n} \sum \limits^k_{i=1}f_i(x_i - \bar x)^2

Atau

S^2 = \frac{1}{n} \sum \limits^k_{i=1}f_ix_i^2 - (\frac{1}{n} \sum \limits^k_{i=1}f_ix_i)^2

Dengan:
k = banyak kelas
x_i = titik tengah kelas ke-i
\bar x = nilai rata-rata
n = \sum^k_{i=1}f_i

(Contoh di Soal 3)

Rumus diatas dapat diubah dengan menggunakan simpangan rataan menjadi

S^2 = \frac{1}{n} \sum \limits^k_{i=1}f_id_i^2 - (\frac{1}{n} \sum \limits^k_{i=1}f_id_i)^2

Simpangan Baku

Simpangan baku atau standar deviasi (S) adalah rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-rata data tersebut. Simpangan baku dapat ditentukan dengan rumus :

S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum \limits^n_{i=1}(x_i - \bar x)^2}

Contoh di Soal 2

Sedangkan untuk data berkelompok, Simpangan baku atau standar deviasi dapat ditentukan dengan rumus:

S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum \limits^k_{i=1}f_i(x_i - \bar x)^2}

Contoh di Soal 3

Contoh Soal Kuartil, Simpangan Kuartil, Simpangan Baku, dsb & Pembahasan

Contoh Soal Kuartil, Simpangan Kuartil, dsb.

Tentukan nilai kuartil bawah, kuartilatas, desil ke-6, jangkauan antar kuartil, dan simpangan kuartil dari data berikut:

contoh soal jangkauan simpangan kuartil

Pembahasan

  • Panjang kelas: c = 10
  • Banyak data: n = 40

Maka letaknya:

  • Kelas Q_1 ada pada x ke \frac{i}{4}n = \frac{1}{4}(40) = 10 yaitu di kelas 60 – 69
  • Kelas  \frac{i}{4}n = \frac{3}{4}(40) = 30 yaitu di kelas 80 – 89
  • Kelas D_6 ada pada xx \frac{i(n+1)}{10} = \frac{6(40+1)}{10} = 24.6 yaitu di kelas 70 – 79

Sehingga:

Q_1 = t_b + (\frac{\frac{i}{4}n-f_k}{f})c = 59.5 + (\frac{\frac{1}{4}(40)-8}{8}) 10 = 65.75

Q_3 = t_b + (\frac{\frac{i}{4}n-f_k}{f})c = 79.5 + (\frac{\frac{8}{4}(40)-27}{10}) 10 = 82.5

D_6 = t_b + (\frac{\frac{6}{10}(40)-13}{14})10 = 77.36

Jangkauan antar kuartil (H):

H = Q_3 - Q_1 = 82.5 - 65.75 = 16.75

Simpangan kuartil Q_d:

Q_d = \frac{1}{2}H = \frac{1}{2}(16.75) = 8.375

Contoh Soal Simpangan Baku, Ragam, dsb.

Diketahui data 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9. Tentukan nilai dari jangkauan, jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku data tersebut.

Pembahasan:

contoh soal simpangan baku

Dengan Q_1 = 4, Q_2 = 6, dan Q_3 = 8.5, maka

  • Mean: \bar x = \frac{3+4+4+5+6+7+8+9+9}{9} = \frac{55}{9} = 6.11
  • Jangkauan: (J) = x_{max} - x_{min} = 9 -3 = 6
  • Jangkauan antar kuartil: H= Q_3 - Q_1 = 8.5 - 4 = 4.5
  • Simpangn kuartil: Q_d = \frac{1}{2}(Q_3 - Q_1) = \frac{1}{2}(Q_3 - Q_1) = \frac{1}{2}(8.5 - 4) = 2.25
  • Simpang rata-rata:

SR =\frac{1}{n} \sum \limits^k_{i=1} \mid x_i - \bar x\mid

SR = \frac{1}{9} \sum \limits^k_{i=1} \mid 3 - 6.11\mid +  \mid 4 - 6.11\mid +  \mid 4 - 6.11\mid +  \mid 5 - 6.11\mid +  \mid 6 - 6.11\mid +  \mid 7 - 6.11\mid +  \mid 8 - 6.11\mid +  \mid 9 - 6.11\mid +  \mid 9 - 6.11\mid

SR=\frac{1}{9} \sum \limits^k_{i=1} \mid -3.11\mid +  \mid -2.11\mid +  \mid -2.11\mid + -1.11\mid +  \mid -1.11\mid +  \mid 0.89\mid +  \mid 1.89\mid +  \mid 2.89\mid +  \mid 2.89\mid

SR = \frac{1}{9} \times 17 = 1.89

  • Ragam:

S^2 = \frac{1}{n} \sum \limits^k_{i=1}(x_i - \bar x)^2

S^2 = \frac{1}{9} \sum\limits^k_{i=1}(3 - 6.11)^2 +  (4 - 6.11)^2 +  (5 - 6.11)^2 + (6 - 6.11)^2 +  (7 - 6.11)^2 + (8 - 6.11)^2 +  (9 - 6.11)^2 + (9 - 6.11)^2

SR = \frac{1}{9} \sum \limits^k_{i=1} (-3.11)^2 +  (-2.11)^2 +  (-2.11)^2 +  (-1.11)^2 +  (-1.11)^2 +  (0.89)^2 +  (1.89)^2 +  (2.89)^2 +  (2.89)^2

S^2 = \frac{1}{9} \sum \limits^k_{i=1} 9.6721 + 4.4521 + 4.4521 + 1.2321 + 1.2321 + 0.7921 + 3.5721 + 8.3521 + 8.3521

S^2 = \frac{1}{9} \times 42.1089 = 4.6788

  • Simpangan baku:

 S = \sqrt{S^2} = \sqrt{4.6788} = 2.163

Contoh Soal Jangkauan, Simpangan Rata-rata, dsb.

Tentukan jangkauan, hamparan, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku pada data berikut:

Nilai Frekuensi
40-49 1
50-59 4
60-69 8
70-79 14
80-81 10
90-99 3
Jumlah 40

Pembahasan:

Nilai f_i x_i f_id_i \mid x_i\bar x\mid f_i\mid x_i - \bar x\mid (x_i - \bar x)^2
40-49 1 44.5 43.5 29.25 29.25 855.56
50-59 4 54.5 214 19.25 77 370.56
60-69 8 64.5 508 9.25 74 85.56
70-79 14 74.5 1029 0.75 10.5 0.56
80-81 10 84.5 835 10.75 107.5 115.56
90-99 3 94.5 280.5 20.75 62.25 430.56
JUMLAH 40 2910 360.5

Mean tabel distribusi frekuensi:

\bar x = \frac{\sum^k_{i=1}f_ix_i}{\sum^k_{i=1}f_i} = \frac{2940}{40} = 73.35

Simpangan rata-rata:

SR = \frac{1}{n} \sum \limits^k_{i=1} f_i\mid x_i -\bar x\mid = \frac{1}{40}360.5 = 9.0125

Ragam:

S^2 = \frac{1}{n} \sum \limits^k_{i=1} f_i(x_i - \bar x)^2 = \frac{1}{40}(5477.50) = 136.94

Simpangan baku:

S = \sqrt{S^2} = \sqrt{136.94} = 11.70

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Identitas Trigonometri dan Sudut Istimewa
  2. Sifat Logartima
  3. Determinan Matriks dan Invers Matriks