Turunan Fungsi Trigonometri

Konsep Turunan Fungsi Trigonometri

Pada dasarnya hampir semua bentuk turunan trigonometri akan memakai turunan fungsi sin x atau cos x. Dengan mendefinisikan turunan dari kedua fungsi tersebut di bawah ini,

f(x) f’(x)

sin x cos x

cos x – sin x

akan mudah menentukan turunan dari fungsi trigonometri lainnya, dengan cara menyatakan fungsi baru dalam bentuk \frac{u}{v} atau bentuk komposisi fungsinya.

Misalnya fungsi sec x bisa kita nyatakan dalam dua bentuk yaitu \frac{u}{v} = \frac{1}{\cos x} atau fungsi komposisinya yaitu h(x) = (f o g)(x) = f(g(x)) = (\cos x)^{-1}

Rumus-rumus Turunan Fungsi trigonometri

Secara umum, rumus dasar turunan fungsi trigonometri adalah sbb:

\begin{array}{rlc} &f(x) \hspace{1cm} f'(x) \\ &\sin x \hspace{1cm} \cos x \\ &\cos x \hspace{1cm} - \sin x \\ &\tan x \hspace{1cm} \sec^2x \\ &\sec x \hspace{1cm} \sec x \tan x \\ &\csc x \hspace{1cm} - \csc x \cot x \\ &\cot x \hspace{1cm} \csc^2x \end{array}

Misal kita akan menentukan turunan dari fungsi sec x, tanpa menghapal table di atas:

Cara 1:

\sec x =  \frac{1}{\cos x} = \frac{u}{v} maka turunannya adalah

\begin{array}{rcl} \frac{u'v-uv'}{v^2} &=& \frac{(0)(\cos x)(-1)(- \sin x)}{\cos^2x} \\ &=& \frac{\sin x}{\cos^2x} \\ &=& \frac{1}{\cos x}\frac{\sin x}{\cos x} \\ &=& \sec x \tan x \end{array}

Cara 2:

\sec x = (\cos x)^{-1}

Dengan menggunakan koposisi fungsi, maka turunan dari (\cos x)^{-1} adalah

\begin{array}{rcl} -(\cos x)^{-2}(- \sin x) &=& \frac{\sin x}{\cos^2x} \\ &=& \frac{1}{\cos x} \frac{\sin x}{\cos x} \\ &=& \sec x \tan x \end{array}

Dengan cara yang sama, seluruh fungsi trigonometri bisa diselesaikan dengan cara di atas tanpa harus menghapal semua turunannya.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Induksi Matematika
Eksponen & Bentuk Akar
Limit Fungsi

Turunan Komposisi Fungsi Trigonometri

Misalkan fungsi h(x) = (f o g)(x) = f(g(x)), di mana f(x) dan g(x) adalah fungsi trigonometri yang masing-masing memiliki turunan, maka turunan dari h(x) adalah:

h’(x) = (f o g)’(x) = f’(g(x)).g’(x)

Contoh :

Tentukan turunan dari y = \sin (\cos (x^2))

Jawab:

\begin{array}{rcl} y' &=& \cos(\cos(x^2))(- \sin(x^2))(2x) \\ &=& - 2 \sin (x^2) \cos(\cos(x^2)) \end{array}

Contoh Soal Turunan Trigonometri dan Pembahasan

Contoh 1:

Soal SPMB 2006, Matematika Dasar

Turunan pertama dari fungsi y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} adalah …

A. - \frac{1}{1+2 \sin x \cos x}
B. \frac{1}{1+2 \sin x \cos}
C. \frac{- \sin x}{1 + 2 \sin x \cos x}
D. \frac{\sin x}{1 + 2 \sin x \cos x}
E. - \frac{\sin^x}{1+2 \sin x \cos x}

Jawab: B

y = \frac{\sin x}{\sin x \cos x} \\ u = \sin x \Rightarrow u' = \cos x \\ v = \sin x + \cos x \Rightarrow v' = \cos x \sin x \\ y' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \\ = \frac{\cos x(\sin x+ \cos x)- \sin x(\cos x- \sin x)}{(\sin x+ \tan x)^2} \\ = \frac{\sin^2+ \cos^2 x}{(\sin x+ \cos x)^2} \\ = \frac{1}{(\sin x+ \cos x)^2} \\ = \frac{1}{\sin^2x+ \cos^2 x+2 \sin x \cos x} \\ = \frac{1}{1+2 \sin x \cos x}

Contoh 2:

Soal SNMPTN Matematika Dasar 2008

Turunan pertama dari fungsi \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} adalah …

A. - \frac{1}{(\cos x+ \sin x)^2}
B. - \frac{2}{(\cos x+ \sin x)^2}
C.\frac{3}{(\cos x+ \sin x)^2}
D. -\frac{1}{\cos^2 x- \sin^2 x}
E. -\frac{2}{\cos^2- \sin^2 x}

Jawab: B

y = \frac{\cos x- \sin x}{\cos x+ \sin x} \\ u = \cos x- \sin x \Rightarrow u' = - \sin x- \cos x = -(\cos x+ \sin x) \\ v = \cos x+ \sin x \Rightarrow v' = \sin x+ \cos x \\ y' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \\ = \frac{-(\cos x+ \sin x)(\cos x+ \sin x)-(\cos x- \sin x)(- \sin x+ \cos x)}{(\cos x+ \sin x)} \\ = \frac{-(\cos x+ \sin x)^2-(\cos x- \sin x)^2}{(\cos x+ \sin x)^2} \\ = \frac{-(\cos^2+ \sin^2x+2\cos x \sin x)-(\cos^2x+ \sin^2x-2 \cos x \sin x)^2 }{(\cos x+ \sin x)^2} \\ = \frac{-2(\cos^2+ \sin^2x)}{(\cos + \sin x)^2} \\ = \frac{-2}{(\cos x+ \sin x)^2}

Contoh 3:

Soal SBMPTN Matematika Saintek 2015

Fungsi f(f)= \sqrt{\cos^2x+ \frac{x}{2}+ \pi}, x > 0, turun pada interval …

A. \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{3}
B.\frac{\pi}{12} < x < \frac{7 \pi}{12}
C. \frac{\pi}{12} < x < \frac{5 \pi}{12}
D. 0 < x < \frac{5 \pi}{12}
E. 0 < x < \frac{\pi}{12}

Jawab: C

Fungsi f(x) akan turun jika

f’(x) < 0

\begin{array}{rcl} f(x) &=& \sqrt{\cos^2x+ \frac{x}{2}+ \pi} \\ &=& (\cos^2x+ \frac{x}{2}+ n)^{\frac{1}{2}}) \\ f'(x) &=& \frac{1}{2}(\cos^2x+ \frac{x}{2} + \pi)^{- \frac{1}{2}}(-2 \cos x \sin x+ \frac{1}{2} \\ &=& \frac{-2 \cos x \sin x + \frac{1}{2}}{\sqrt[2]{\cos^2x+ \frac{x}{2}+ \pi}} < 0 \end{array}

Karena \sqrt{\cos^2x+ \frac{x}{2} \pi > 0} maka kedua ruas bisa dikalikan dengan \sqrt{\cos^2x+ \frac{x}{2} \pi}

-2 \cos x \sin x \frac{1}{2} > 0 \iff 2 \cos x \sin x < \frac{1}{2} \\ \iff \sin 2x < \frac{1}{2}

Jika \sin 2x = \frac{1}{2} maka nilai x adalah \frac{\pi}{12} atau \frac{5 \pi}{12}

Contoh 4:

Soal UM UGM Matematika Dasar 2005

Jika f(x) = \sqrt{1+ \sin^2 x}0 \le x \le \pi

Maka f'(x).f(x) = \cdots

A. (1+ sin^2 x) \sin x \cos x
B. 1+ \sin^2x
C. \sin x \cos x
D. \sin x
E. \frac{1}{2}

Jawab: C

\begin{array}{rcl} f(x) = \sqrt{1+ \sin^2 x} 0 \le x \le \pi \\ &=& (1+ \sin^2 x)^{\frac{1}{2}} \\ f'(x) &=& \frac{1}{2} (1+ \sin^2 x)^{\frac{1}{2}}(2 \sin x \cos x) \\ &=& (\sin x \cos x) (1+ \sin^2 x)^{\frac{1}{2}} \\ &=& \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+ \sin^2 x}} \\ f'(x) \hspace{0,1cm} &=& \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+ \sin^2 x}} \sqrt{1+ \sin^2 x} \\ &=& \sin x \cos x \end{array}

Contoh 5:

Soal UM UGM Matematika Dasar 2006

Jika f(x) = \frac{\cos x- \sin x}{\cos x+ \sin x}, \cos x+ \sin x \ne 0

Maka f'(x) = \cdots

A. 1-(f(x))^2
B. -1+(f(x))^2
C. -(1+(f(x))^2)
D. 1+(f(x))^2
E. (f(x))^2

Jawab: B

f(x) = \frac{\cos x- \sin x}{\cos x+ \sin x}, \cos x+ \sin x \ne 0

u = \cos x- \sin x \rightarrow u' = - \sin x - \cos x = -(\sin x+ \cos x)

v = \cos x+ \sin x \rightarrow v' = - \sin x + \cos x

\begin{array}{rcl} f'(x) = \frac{u'v- uv'}{v^2} \\ &=& \frac{-(\sin x+ \cos x)(\sin x+ \cos x)-(\cos x- \sin x)(-\sin x+ \cos x)}{(\cos x+ \sin x)^2} \\ &=& \frac{-(\sin x+ \cos x)(\sin x+ \cos x)+(\cos x- \sin x)(\cos x- \sin x)}{(\cos x+ \sin x)^2} \\ &=& \frac{(-\sin x+ \cos x)^2 +(\cos x- \sin x)^2}{(\cos x+ \sin x)^2} \\ &=& -1 \frac{(\cos x- \sin x)^2}{(\cos x+ \sin x)^2} \\ &=& -1(f(x))^2 \end{array}

Contoh 6:

Soal UM UGM Matematika Dasar 2008

Jika y= 3 \sin 2x-2 \cos 3x, maka \frac{dy}{dx} = …

A. 6 \cos 2x+ 6 \sin 3x
B. $latex$ -6 \cos 2x- 6 \sin 3x$
C. 6 \cos 2x- 6 \sin 3x D. latex 3 \cos 2x+ 2 \sin 3x$
E. 3 \cos 2x- 2 \sin 3x$latex$

Jawab: A

y = 3 \sin 2x-2 \cos 3x

y' = 6 \cos+6 \sin 3x

Contoh 7:

Soal UGM Matematika IPA 2014

Jika f(x) = (\sin x+ \cos)(\cos 2x+ \sin 2x) dan f'= 2 \cos 3x+ g(x) maka g(x) = …

A. \cos 3x + \sin x
B. \cos 3x - \sin x
C. \cos + \sin x
D.\cos + \sin x
E.- \cos x+ \sin x

Jawab: B

\begin{array}{rcl} f'(x) &=& u'v + uv' \\ &=& ( \cos x- \sin x)( \cos 2x+ \sin 2x)+2( \sin x+ \cos x)( \cos 2x- \sin 2x) \\ &=& ( \cos x \cos 2x- \sin x \sin 2x)-( \sin x \cos 2x- \cos x \sin 2x)+2(\sin x \cos 2x- \cos x \sin 2x)+2( \cos x \cos 2x- \sin x \sin 2x) \\ &=& 3( \cos x \cos 2x- \sin x \sin 2x)+( \sin x \cos 2x- \cos x \sin 2x) \\ &=& 3 \cos (x+2x)+ \sin (x-2x) \\ &=& 3 \cos 3x+ \sin (-x) \\ &=& 3 \cos 3x- \sin x = 2 \cos 3x+g(x) \\ g(x) &=& 2 \cos 3x - \sin x \end{array}

Contoh 8:

Soal UM UGM Matematika IPA 2015

Nilai minimum fungsi f(x) = 2 \sin x+ \cos 2x pada interval $0 \le x \le 2 \pi$ adalah …

A. – 4
B. – 3
C. – 2
D. – 1
E. 0

Jawab: B

Nilai minimum terjadi pada saat

\begin{array}{rcl} f'(x) = 0 & \iff & 2 \cos x - 2 \sin 2x =0 \\ & \iff & \cos x - \sin 2x = 0 \\ & \iff & \cos x - 2 \sin 2x \cos x=0 \\ & \iff & \cos x (1- 2 \sin 2x) =0 \\ & \iff & \cos x=0 atau 1-2 \sin x =0 \end{array}

Dari cos x = 0 diperoleh x= \frac{\pi}{2} atau x= \frac{3 \pi}{2}

Dari 1 – 2 sin x = 0 maka sin x= \frac{1}{2} diperoleh x= \frac{\pi}{6} atau x= \frac{5 \pi}{6}

Selanjutnya kita tinggal memeriksa nilai paling kecil dari f(x) saat x bernilai

\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}, dan titik batas yaitu 0 dan $latex2 \pi$

\begin{array}{rcl} f(x) &=& 2 \sin x+ \cos 2x \\ f(0) &=& 0+1 = 1 \\ f ( \frac{\pi}{6 }) &=& 1+ \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ f ( \frac{\pi}{2}) &=& 2-1 = 1 \\ f ( \frac{5 \pi}{6}) &=& 1+ \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ f ( \frac{3 \pi}{2}) &=& -2-1 = -3 \\ f(2 \pi) &=& 0+1 = 1 \end{array}

Jadi nilai minimumnya adalah -3

Artikel: Turunan Fungsi Trigonometri
Kontributor: Farid M. Sandeeve, S.Si
Alumni FMIPA UI

Referensi:

Naskah Asli Soal Matematika Dasar dan Matematika IPA (Saintek) SPMB, SNMPTN, SBMPTN dan UM UGM.
Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi ke-9, Purcell & Varberg

Materi StudioBelajar.com lainnya: