Dimensi Tiga

Dimensi Tiga I: Bangun Ruang Beraturan

1. Kubus

Kubus merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh 6 bujur sangkar yang saling kongruen. Keenam bujur sangkar disebut sisi kubus dan garis yang menjadi perpotongan dua sisi kubus disebut rusuk kubus. Kubus memiliki 12 rusuk yang sama panjang.

bangun ruang kubus

  • Volume kubus: V =s^3
  • Luas permukaan: L = 6.s^2

2. Balok

Balok memiliki 6 sisi dimana masing-masing sisi yang berhadapan saling kongruen. Balok memiliki 12 rusuk dengan 3 kelompok panjang yang berbeda yaitu p, l, dan t seperti dibawah:

dimensi tiga balok

  • Volume: V = P \times l \times t
  • Luas permukaan: L = 2(p.l + p.t + l.t)

3. Prisma

Prisma adalah bangun ruang yang memiliki 2 bidang yang sejajar dan kongruen yang disebut penampang. Bidang yang menghubungkan kedua penampang disebut selimut prisma.

prisma segitiga, segiempat, dan segilima

  • Volume: V = luas alas \times tinggi
  • Luas permukaan: L = (2 \times luas alas) + keliling \times tinggi

4. Limas

Limas merupakan bangun ruang yang terdiri dari satu bidang alas dan selimut bangun yang berbentuk bidang-bidang segitiga. Satu titik dari masing-masing segitiga saling bertemu di sebuah titik disebut titik puncak limas.

volume dan luas permukaan dimensi tiga limas

  • Volume: V = \frac{1}{3}
  • Luas permukaan: L = luas alas + luas selimut

5. Silinder

Silinder merupakan bangun ruang yang memiliki 2 bidang penampang berbentuk lingkaran yang sejajar dan kongruen. Bidang selimut silinder merupakan bidang persegi panjang yang dilengkungkan secara mulus mengikuti keliling bidang lingkarannya.

bangun ruang silinder tabung

  • Volume: V = (\pi r^2) \times t
  • Luas permukaan: L = (2 \times luas alas) + luas selimut

6. Kerucut

Kerucut merupakan bidang ruang yang terdiri dari satu bidang alas lingkaran dan sebuah titik puncak dengan selimut bidang berbentuk juring lingkaran dan busurnya dilengkungkan semulus keliling lingkarannya.

volume dan luas permukaan kerucut

  • Volume: V = \frac{1}{3}(\pi r^2) \times t
  • Luas permukaan: L = luas alas + luas selimut

Luas permukaan: L = \pi r^2 + \pi rs = \pi r(r + s)

7. Bola

Bola merupakan bangun ruang yang tidak mempunyai bidang alas dan titik pojok. Bola merupakan himpunan titik dalam dimensi tiga yang memiliki jarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut pusat bola. Jarak pusat bola ke titik-titik permukaan lingkaran disebut jari-jari bola.

dimensi tiga bola

  • Volume: V = \frac{4}{3}(\pi r^3)
  • Luas permukaan: L = 4\pi r^2

Dimensi Tiga II: Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

1. Kedudukan titik terhadap garis

Sebuah titik dapat terletak di sebuah garis atau di luar garis. Jika titik terdapat di sebuah garis maka jarak titiknya 0 dan jika titik terletak di luar garis jaraknya dihitung tegak lurus terhadap garis.

kedudukan titik terhadap garis

Contoh, pada gambar di atas diketahui sebuah titik B terhadap garis g. Titik B memiliki jarak terhadap garis g sejauh garis putus-putus (B ke B’) dimana B’ merupakan proyeksi tegak lurus titik B pada garis g.

2. Kedudukan titik terhadap bidang

Sebuah titik dapat terletak di sebuah bidang atau di luar bidang. Jika titik terdapat di sebuah bidang maka jarak titiknya 0 dan jika titik terletak di luar bidang jaraknya dihitung tegak lurus terhadap bidang.

dimensi tiga kedudukan titik terhadap bidang

Contoh, pada gambar di atas diketahui sebuah titik P terhadap bidang v. Titik P diluar bidang v sehingga memiliki jarak terhadap bidang v sejauh garis tegak (P ke P’) dimana P’ merupakan proyeksi tegak lurus titik p pada bidang v.

3. Kedudukan garis terhadap garis

Dua buah garis dapat dikatakan sebagai berikut :

  • Berpotongan, jika kedua garis bertemu di sebuah titik
  • Berhimpit, jika seluruh titik yang dilewati garis g juga dilewati garis h
  • Sejajar, jika kedua garis berada pada bidang yang sama dan tidak akan bertemu pada suatu titik
  • Bersilangan, jika masing-masing garis berada pada bidang yang saling bersilangan tegak lurus

kedudukan garis terhada garis

4. Kedudukan garis terhadap bidang

  • Terletak pada bidang, jika seluruh garis berada pada bidang sehingga seluruh titik pada garis saling berhimpit dengan titik-titik pada bidang. Tidak ada jarak antara garis dan bidang.
  • Sejajar bidang, jika seluruh titik pada garis memiliki jarak yang sama terhadap Misal jarak titik A di garis terhadap titik A’ di bidang adalah sama dengan jarak titik B di garis terhadap titik B’ di bidang.
  • Memotong bidang, jika garis dan bidang saling tegak lurus.

kedudukan garis terhadap bidang5. Kedudukan bidang terhadap bidang

  • Berhimpit, jika seluruh titik yang ada di bidang \alpha berada pada bidang \beta.
  • Sejajar, jika seluruh titik pada kedua bidang berada pada jarak yang sama.
  • Berpotongan, jika kedua bidang bertemu di sebuah garis.

kedudukan bidang terhadap bidang sejajar berimpit berpotongan

Contoh Soal Dimensi Tiga dan Pembahasan

Contoh Soal 1: Jarak Titik dengan Garis

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukan jarak antara titik F dengan diagonal ruang BH.

Pembahasan

contoh soal dimensi tiga jarak titik terhadap garis

BF = 4

FH = \sqrt{EF^2 + EH^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}

BH = \sqrt{FH^2 + BF^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 4^2} = 4\sqrt{3}

Jarak titik F dengan garis BH sama dengan panjang garis PF. Jika luas segitiga BHF diketahui

Luas BHF = \frac{1}{2}PF \times BH atau Luas BHF = \frac{1}{2}BF \times FH, maka:

\frac{1}{2}PF \times BH = \frac{1}{2}BF \times FH

PF \times BH = BF \times FH

PF = \frac{BF \times FH}{BH}

PF = \frac{4 \times 4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}

PF = \frac{4}{3}\sqrt{6 cm}

Contoh Soal 2: Volume Bangun Ruang

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P dan Q berturut-turut terletak pada pertengahan FG dan HG. Perpanjangan garis BP, DG dan CG berpotongan di titik T. Tentukan volume limas T.BCD.

Pembahasan

contoh soal volume bangun ruang

pembahasan soal

Sudut CDT sama dengan sudut GQT maka :

\tan CDT = \tan GQT

\frac{CT}{CD} = \frac{GT}{GQ}

\frac{CG + GT}{CD} = \frac{GT}{\frac{1}{2}CD}

(CG + GT) = 2 \times GT

6 + GT = 2GT

GT = 6

Maka luas limas :

V = \frac{1}{3} \times luas alas \times tinggi

V = \frac{1}{3}\times (\frac{1}{2} \times BC \times CD) \times CT

V = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2}\times 6 \times 6) \times (6 + 6)

V = 72cm^3

Contoh Soal 3: Sudut Pada Bangun Ruang

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Q dan P adalah titik tengah HG dan FG. Jika \alpha adalah sudut yang dibentuk bidang BDPQ dengan bidang ABCD maka nilai \sin \alpha adalah ….

Pembahasan

dimensi tiga contoh soal sudut titik terhadap bidang

Berdasarkan soal 2 diketahui GT = 6, sehingga :

pembahasan soal dimensi tiga

OC = \frac{1}{2}\times AC

OC = \frac{1}{2} \times \sqrt{AB^2 + BC^2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{6^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}

Dan

CT = 6 +6 = 12

Maka :

OT = \sqrt{OC^2 + CT^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 12^2} = \sqrt{18 + 144} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}

Diperoleh :

\sin a = \frac{CT}{OT} = \frac{12}{9\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{9\times 2} = \frac{12}{18}\sqrt{2} = \frac{2}{3}\sqrt{2}

Artikel: Dimensi Tiga
Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Trigonometri
  2. Integral
  3. Persamaan Kuadrat & Rumus ABC