Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan dari bilangan eksponen dengan pangkat yang memuat sebuah fungsi, atau persamaan perpangkatan yang bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai bilangan peubah.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Integral Tentu & Penggunaan Integral
Trigonometri

Bentuk-bentuk persamaan eksponen (PE) sebagai berikut:

PE bentuk $a^{f(x)} = a^p$

Jika $a>0$ dan $a\ne 1$ , maka f(x) = p.

Contoh:

$2^{3x} = 2^6$

Maka:

$3x = 6$

$x=2$

PE bentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$

Jika a>0 dan a≠ 1, maka $f(x) = g(x)$

Contoh:

$2^{3x+1} = 2^{2x+3}$

Maka:

$3x+1 = 2x+3$

$x = 2$

PE bentuk $a^{f(x)} = b^{f(x)}$

Jika $a>0$ , $a\ne 1$ , $b>0$ , $b \ne 1$ , dan $a\ne b$ , maka $f(x)$ = 0

Contoh:

$2^{3x+1} = 5^{3x+1}$

Maka:

$3x + 1 = 0$

$x = -\frac{1}{3}$

PE bentuk $a^{f(x)} = b^{g(x)}$

Penyelesaian didapat dengan melogaritmakan kedua ruas

Contoh:

$2^{3x+1} = 10^{3x}$

Maka:

$\log 2^{3x+1} = \log 10^{3x}$

$(3x+1)\log 2 = (3x)$

$3x \log 2 + \log 2 = 3x$

$\log 2 = 3x (1 - \log 2)$

$x = \frac{\log 2}{3(1 - \log 2)}$

PE bentuk $(h(x))^{f(x)} = (h(x))^{g(x)}$

Kemungkinan yang bisa terjadi adalah:

$f(x) = g(x)$

Contoh:

$(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}$

Mungkin:

$(3x+1) = (2x+3)$

$x =2$

$h(x) = 1$

Contoh:

$(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}$

Mungkin:

$(3x+2) = 1$

$x = -\frac{1}{3}$

$h(x) = 0$ asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya positif

Contoh:

$(3x+2)^5 = (3x+2)^7$

Mungkin:

$(3x+2) = 0$

$x = -\frac{2}{3}$

$h(x) = -1$ asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya sama genap atau sama ganjil

Contoh:

$(3x+2)^5 = (3x+2)^7$

Mungkin:

$(3x+ 2) = -1$

$x=-1$

Persamaan Eksponen Dalam Bentuk Aljabar

Jika terdapat sebuah persamaan eksponen dalam bentuk aljabar sebagai berikut:

$A(a^{f(x)})^2 + B(a^{f(x)}) + C = 0$

Dengan $a^{f(x)}$ adalah persamaan eksponen, $a\ne 1$ , dan konstanta A, B, C adalah bilangan real serta $A\ne 0$ dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke persamaan kuadrat.

Pengubahan dengan cara memisalkan $y = a^{f(x)}$ sehingga akan diperoleh persamaan kuadrat baru:

$A(y)^2 + B(y) + C = 0$

Yuk belajar materi ini juga:
Teori Atom
Keanekaragaman Hayati
Teks Eksposisi

Akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut disubstitusikan ke dalam bentuk persamaan eksponen $y = a^{f(x)}$ . Dengan cara penyelesaian biasa, nilai-nilai x bisa diperoleh.

Sebagai contoh diketahui sebuah persamaan eksponen: $(2x+7)^2 - 4(2x+7)+3 = 0$ .

Maka penyelesaiannya adalah dengan memisalkan persamaan tersebut menjadi:

$y^2 - 4y + 3 = 0$

sehingga

$(y - 3)(y - 1) = 0$

$y_1 = 3$ dan $y_2 = 1$

diperoleh,

$y_1 =2x+7$

$3 = 2x+7$

$x = -2$

dan

$y_2 = 2x+7$

$1 = 2x+7$

$x = -3$

Pertidaksamaan Eksponen

Dalam bentuk pertidaksamaan, sifat-sifat pertidaksamaan eksponen dapat diketahui sebagai berikut:

Untuk $a>1$

Jika $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ , maka $f(x)>g(x)$

Contoh:

$2^{3x}>2^6$

Maka:

$3x > 6$

Jika $a^{f(x)}<a^{g(x)}$ , maka $f(x)<g(x)$

Contoh:

$2^{3x}<2^6$

Maka:

$3x<6$

Jika $a^{f(x)}\ge a^{g(x)}$ , maka $f(x) \ge g(x)$

Contoh:

$2^3 \ge 2^6$

Maka:

$3x \ge 6$

Jika $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$ , maka $f(x)\le g(x)$

Contoh:

$2^{3x} \le 2^6$

Maka:

$3x \le 6$

Untuk $0 < a < 1$

Jika $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ , maka $f(x)<g(x)$

Contoh:

$\frac{1}{2}^{3x} > \frac{1}{2}^6$

Maka:

$3x < 6$

Jika $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ , maka $f(x) > g(x)$

Contoh:

$\frac{1}{2}^{3x} < \frac{1}{2}^6$

Maka:

$3x > 6$

Jika $a^{f(x)} \ge a^{g(x)}$ , maka $f(x)\le g(x)$

Contoh:

$\frac{1}{2}^{3x} \ge \frac{1}{2}^{6}$

Maka:

$3x\le 6$

Jika $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ , maka $f(x) \ge g(x)$

Contoh:

$\frac{1}{2}^{3x} \le \frac{1}{2}^6$

Maka:

$3x \ge 6$

Yuk belajar materi ini juga:
Pronoun
Jangka Sorong
Struktur Atom

Contoh Soal Persamaan Eksponen, Pertidaksamaan Eksponen, dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Akar-akar persamaan $5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ .

Jika $x_1 < x_2$ , maka tentukan nilai $2x_1 + x_2$ (UN 2008)

Pembahasan

$5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0$

$5^{2(x+1)+1} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0$

$5((5^{x+1})^2) - 6(5^{x+1}) + 1 = 0$

Misalkan $5^{x+1} = y$ , maka

$5(y^2) - 6(y) + 1 = 0$

$y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$y_{1,2} = \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2 - 4(5)(1)}}{2(5)}$

$y_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{10}$

sehingga $y_1 = \frac{1}{5}$ dan y₂ = 1.

Disubstitusi dalam $5^{x+1} = y$ menjadi

$5^{x+1} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$x+1 = -1 \longrightarrow x_1 = -2$

$5^{x+1} = 1 = 5^0$

$x+1 = 0 \longrightarrow x_2 = -1$

Sehingga,

$2x_1 + x_2 = 2 (-2)+(-1) = -5$

Contoh Soal 2

Jika $x>0$ dan $x\ne 1$ memenuhi $\frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = x^p$ , serta p bilangan rasional, maka p adalah

(SPMB 2002)

Pembahasan

Dilakukan penyederhanaan di dalam akar:

$\frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x(x)^{\frac{1}{3}}}} = x^p$

$= \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{1+\frac{1}{3}}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{\frac{4}{3}}}}$

Akar dirubah menjadi pangkat:

$= \frac{x}{((x)^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{3}}} = \frac{x}{((x)^{\frac{4}{9}})}$

Bentuk pecahan disederhanakan menjadi:

$x(x)^{-\frac{4}{9}} = x^p$

$(x)^{1-\frac{4}{9}} = x^p$

Maka

$p = 1- \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Contoh Soal 3

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen $3^{-x^2+3x} \le 1$ adalah:

Pembahasan

$3^{-x^2 + 3x} \le 1$

$3^{-x^2 + 3x} \le 3^0$

Sehingga,

$-x^2 + 3x \le 0$

$x(-x + 3) \le 0$

Diperoleh,

$x_1 = 0$ dan $x_2 = 3$

Untuk mendapat penyelesaiannya, ambil sembarang nilai x diantara rentang $0<x<3$ kemudian disubstitusikan kedalam bentuk $-x^2 + 3x \le 0$ . Misal ambil x = 1.

$-(1)^2 + 3(1) \le 0$

$- 1 + 3 \le 0$

$2 \le 0$ (tidak sesuai)

Karena tidak sesuai, maka area penyelesaian ada di luar rentang $0<x<3$ , sehingga didapat penyelesaiannya adalah

$x\le 0$ dan $x\le 3$

Artikel: Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen
Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen