Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan dari bilangan eksponen dengan pangkat yang memuat sebuah fungsi, atau persamaan perpangkatan yang bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai bilangan peubah.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Integral Tentu & Penggunaan Integral
Trigonometri

Bentuk-bentuk persamaan eksponen (PE) sebagai berikut:

  • PE bentuk a^{f(x)} = a^p

Jika a>0 dan a\ne 1, maka f(x) = p.

Contoh:

2^{3x} = 2^6

Maka:

3x = 6

x=2

  • PE bentuk a^{f(x)} = a^{g(x)}

Jika a>0 dan a≠ 1, maka f(x) = g(x)

Contoh:

2^{3x+1} = 2^{2x+3}

Maka:

3x+1 = 2x+3

x = 2

  • PE bentuk a^{f(x)} = b^{f(x)}

Jika a>0, a\ne 1, b>0, b \ne 1, dan a\ne b, maka f(x) = 0

Contoh:

2^{3x+1} = 5^{3x+1}

Maka:

3x + 1 = 0

x = -\frac{1}{3}

  • PE bentuk a^{f(x)} = b^{g(x)}

Penyelesaian didapat dengan melogaritmakan kedua ruas

Contoh:

2^{3x+1} = 10^{3x}

Maka:

\log 2^{3x+1} = \log 10^{3x}

(3x+1)\log 2 = (3x)

3x \log 2 + \log 2 = 3x

\log 2 = 3x (1 - \log 2)

x = \frac{\log 2}{3(1 - \log 2)}

  • PE bentuk (h(x))^{f(x)} = (h(x))^{g(x)}

Kemungkinan yang bisa terjadi adalah:

  • f(x) = g(x)

Contoh:

(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}

Mungkin:

(3x+1) = (2x+3)

x =2

  • h(x) = 1

Contoh:

(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}

Mungkin:

(3x+2) = 1

x = -\frac{1}{3}

  • h(x) = 0 asalkan f(x) dan g(x)keduanya positif

Contoh:

(3x+2)^5 = (3x+2)^7

Mungkin:

(3x+2) = 0

x = -\frac{2}{3}

  • h(x) = -1 asalkan f(x) dan g(x) keduanya sama genap atau sama ganjil

Contoh:

(3x+2)^5 = (3x+2)^7

Mungkin:

(3x+ 2) = -1

x=-1

Persamaan Eksponen Dalam Bentuk Aljabar

Jika terdapat sebuah persamaan eksponen dalam bentuk aljabar sebagai berikut:

A(a^{f(x)})^2 + B(a^{f(x)}) + C = 0

Dengan a^{f(x)} adalah persamaan eksponen, a\ne 1, dan konstanta A, B, C adalah bilangan real serta A\ne 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke persamaan kuadrat.

Pengubahan dengan cara memisalkan y = a^{f(x)} sehingga akan diperoleh persamaan kuadrat baru:

A(y)^2 + B(y) + C = 0

Akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut disubstitusikan ke dalam bentuk persamaan eksponen y = a^{f(x)}. Dengan cara penyelesaian biasa, nilai-nilai x bisa diperoleh.

Sebagai contoh diketahui sebuah persamaan eksponen:(2x+7)^2 - 4(2x+7)+3 = 0.

Maka penyelesaiannya adalah dengan memisalkan persamaan tersebut menjadi:

y^2 - 4y + 3 = 0

sehingga

(y - 3)(y - 1) = 0

y_1 = 3 dan y_2 = 1

diperoleh,

y_1 =2x+7

3 = 2x+7

x = -2

dan

y_2 = 2x+7

1 = 2x+7

x = -3

Pertidaksamaan Eksponen

Dalam bentuk pertidaksamaan, sifat-sifat pertidaksamaan eksponen dapat diketahui sebagai berikut:

Untuk a>1

  • Jika a^{f(x)}>a^{g(x)}, maka f(x)>g(x)

Contoh:

2^{3x}>2^6

Maka:

3x > 6

  • Jika a^{f(x)}<a^{g(x)}, maka f(x)<g(x)

Contoh:

2^{3x}<2^6

Maka:

 3x<6

  • Jika a^{f(x)}\ge a^{g(x)}, maka f(x) \ge g(x)

Contoh:

2^3 \ge 2^6

Maka:

3x \ge 6

  • Jika a^{f(x)}\le a^{g(x)}, maka f(x)\le g(x)

Contoh:

2^{3x} \le 2^6

Maka:

3x \le 6

Untuk 0 < a < 1

Jika a^{f(x)} > a^{g(x)}, maka f(x)<g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} > \frac{1}{2}^6

Maka:

3x < 6

  • Jika a^{f(x)} < a^{g(x)}, maka f(x) > g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} < \frac{1}{2}^6

Maka:

3x > 6

  • Jika a^{f(x)} \ge a^{g(x)}, maka f(x)\le g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} \ge \frac{1}{2}^{6}

Maka:

3x\le 6

  • Jika a^{f(x)} \le a^{g(x)}, maka f(x) \ge g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} \le \frac{1}{2}^6

Maka:

3x \ge 6

Contoh Soal Persamaan Eksponen, Pertidaksamaan Eksponen, dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Akar-akar persamaan 5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0 adalah x_1 dan x_2.

Jika x_1 < x_2, maka tentukan nilai 2x_1 + x_2 (UN 2008)

Pembahasan

5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

5^{2(x+1)+1} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

5((5^{x+1})^2) - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

Misalkan 5^{x+1} = y, maka

5(y^2) - 6(y) + 1 = 0

y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

y_{1,2} = \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2 - 4(5)(1)}}{2(5)}

y_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{10}

sehingga y_1 = \frac{1}{5} dan y2 = 1.

Disubstitusi dalam 5^{x+1} = y menjadi

5^{x+1} = \frac{1}{5} = 5^{-1}

x+1 = -1 \longrightarrow x_1 = -2

5^{x+1} = 1 = 5^0

x+1 = 0 \longrightarrow x_2 = -1

Sehingga,

2x_1 + x_2 = 2 (-2)+(-1) = -5

Contoh Soal 2

Jika x>0 dan x\ne 1 memenuhi \frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = x^p, serta p bilangan rasional, maka p adalah

(SPMB 2002)

Pembahasan

Dilakukan penyederhanaan di dalam akar:

\frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x(x)^{\frac{1}{3}}}} = x^p

= \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{1+\frac{1}{3}}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{\frac{4}{3}}}}

Akar dirubah menjadi pangkat:

= \frac{x}{((x)^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{3}}} = \frac{x}{((x)^{\frac{4}{9}})}

Bentuk pecahan disederhanakan menjadi:

x(x)^{-\frac{4}{9}} = x^p

(x)^{1-\frac{4}{9}} = x^p

Maka

p = 1- \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

Contoh Soal 3

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen 3^{-x^2+3x} \le 1 adalah:

Pembahasan

3^{-x^2 + 3x} \le 1

3^{-x^2 + 3x} \le 3^0

Sehingga,

-x^2 + 3x \le 0

x(-x + 3) \le 0

Diperoleh,

x_1 = 0 dan x_2 = 3

Untuk mendapat penyelesaiannya, ambil sembarang nilai x diantara rentang 0<x<3 kemudian disubstitusikan kedalam bentuk -x^2 + 3x \le 0. Misal ambil x = 1.

-(1)^2 + 3(1) \le 0

- 1 + 3 \le 0

2 \le 0 (tidak sesuai)

Karena tidak sesuai, maka area penyelesaian ada di luar rentang 0<x<3, sehingga didapat penyelesaiannya adalah

x\le 0 dan x\le 3

Artikel: Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen
Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Rumus Trigonometri
  2. Integral
  3. Deret Aritmatika dan Trigonometri