Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan logaritma yang mengandung unsur fungsi tertentu. Persamaan ini mengandung beberapa bentuk diantaranya:

  • Bentuk ^a\log f(x) = b

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = a^b. Dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1. Sebagai contoh, ^x\log(3x + 10) = 2, maka:

^x\log(3x + 10) = 2 \rightarrow 3x + 10 = x^2

Dari persamaan kuadrat tersebut dapat diketahui akar-akarnya sebagai penyelesaian:

3x + 10 = x^2 \rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0

(x - 5)(x + 2) = 0

x_1 = 5 dan x_2 = -2

  • Bentuk ^a\log f(x) = ^a\log b

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = b dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan b > 0. Sebagai contoh, \log(x^2 - 1) = \log 8 diubah bentuk menjadi:

x^2 - 1 = 8

x^2 = 9

Akar-akarnya adalah:

x_1 = 3 dan x_2 = -3

  • Bentuk ^a\log f(x) = ^a\log g(x)

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = g(x). Dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan f(x) > 0 dan g(x) > 0. Sebagai contoh:

\log(x^2 - 1) - \log(x - 1) = 1 + \log(x - 8),

Menjadi:

\log(x^2 - 1) - \log(x - 1) = \log 10 + \log(x - 8)

\log(\frac{x^2 - 1}{x - 1}) = \log10(x - 8)

\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 10(x-8)

\frac{(x - 1)(x + 1)}{x -1} = 10(x-8)

(x + 1) = 10x - 80

9x = 81

Sehingga:

x = 9

  • Bentuk a(^p\log(x))^2 + b(^p\log f(x)) + c = 0

Persamaan logaritma ini dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat dengan memisalkan ^p\log f(x) = y. Sehingga membentuk persamaan baru:

a(y)^2 + b(y) + c = 0

Dari persamaan tersebut akan diperoleh penyelesaian fungsi y, kemudian bisa disubstitusikan kedalam ^p\log f(x) = y untuk mendapatkan penyelesaian fungsi x. Sebagai contoh:

^2\log x((^2\log x) - 3) = ^2 \log 16

Misalkan ^2\log x = y, maka persamaan barunya:

^2\log x((^2\log x)- 3) = ^2\log 16

y(y -3) = ^2\log 2^4

y(y - 3) = 4

y^2 - 3y = 4

y^2 - 3y - 4 = 0

(y - 4)( y + 1) = 0

Akar-akarnya:

y_1 = 4 dan y_2 = -1

Sehingga diperoleh nilai x dari akar-akar y yaitu:

  • y_1 = 4

^2 \log x = 4

x = 2^4 = 16

  • y_2 = -1

^2 \log x = -1

x = 2^{-1} = \frac{1}{2}

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:

Saat a > 1

  • Jika ^a\log f(x) < ^a \log g(x), maka 0 < f(x) < g(x)
  • Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka f(x) > ;g(x) > 0

Saat 0 < a < 1

  • Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka f(x) > g(x) > 0
  • Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x)

Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:

^2\log(2x + 1) < ^2\log 3

Berubah bentuk menjadi:

2x + 1

2x < 2

x < 1

Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x). Sehingga:

0 < (2x+1) < 3

-1 < (2x) < 2

-\frac{1}{2} < x < 1

Garis bilangannya adalah:

contoh soal persamaan dan pertidaksamaan logaritma

Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan y = ^a \log x. Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:

(2 \log x-1)(\frac{1}{^x\log 10}) > 1

Diubah menjadi:

(2 \log x - 1)(\log x) > 1

2 \log^2 x - \log x - 1 > 0

Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi:

2y^2 - y - 1 > 0

(2y + 1)(y - 1)

Akar-akarnya adalah :

y_1 = -\frac{1}{2} dan y_2 = 1

Maka nilai x adalah:

y_1 = -\frac{1}{2}\overset{maka}{\rightarrow}-\frac{1}{2} = \log x

x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}

y_2 = 1\overset{maka}{\rightarrow}1 = \log x

x_2 = 10

Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah:

pertidaksamaan logaritma

Penyelesaiannya adalah:

0 < x < \frac{1}{\sqrt{10}} atau x > 10

Pertidaksamaan Harga Mutlak Logaritma

Operasi logaritma bisa dilakukan dalam sebuah harga mutlak. Penyelesaiannya mengikuti sifat-sifat harga mutlak dan logaritma. Harga mutlak tersebut memiliki sifat-sifat:

  • Jika \mid x \mid < a dengan a > 0, maka -a < x < a
  • Jika \mid x \mid > a dengan a > 0, maka x < -a atau x > a

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma dalam harga mutlak ini dapat dikerjakan seperti contoh:

\mid ^3\log (x+1)\mid < 2

Berdasarkan sifat \bar x \bar < a, maka:

-2 < ^3\log(x+1) < 2

^3\log(\frac{1}{9}) < ^3\log(x+1) < ^3\log(x+1) < ^3\log 9

\frac{1}{9} < x + 1 < 9

-\frac{8}{9} < x < 8

Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma dan Pembahasan

Contoh Soal 1: Persamaan Logaritma

Tentukan penyelesaian dari ^2\log(2x - 3) - ^4\log(x - ^3/_2) = 1 (UMPTN ’92)

Pembahasan 1:

^2\log(2x - 3) - ^4\log(x - ^3/_2) = 1

^2\log(2x - 3) - \frac{1}{2}(^2\log(\frac{2x-3}{2})) = 1

^2\log(2x - 3) - (\frac{1}{2}^2\log(2x - 3)) - (-\frac{1}{2}^2\log 2) = ^2\log 2

\frac{1}{2}^2\log(2x - 3) = \frac{1}{2}^2\log 2

^2\log (2x - 3) = ^2 \log 2

2x - 3 = 2

x = 2,5

Contoh Soal 2: Persamaan Logaritma

Tentukan nilai x dari persamaan  \log(\frac{3x+1}{100}) = ^{3x+1}\log 1000 (UMPTN ’93)

Pembahasan 2:

\log(\frac{3x+1}{100}) =^{3x+1}\log 1000

\log(3x+1) - \log(100) = \frac{1}{^{1000}\log(3x+1)}

\log(3x+1) - \log(10)^2 = \frac{1}{^{10^3}\log(3x+1)}

\log(3x + 1) - 2 = \frac{1}{\frac{1}{3}\log(3x+1)}

\log(3x+1) - 2 = \frac{3}{\log(3x+1)}

Misalkan y = \log(3x+1), maka persamaannya:

y - 2 = \frac{3}{y}

y^2 - 2y = 3

y^2 - 2y - 3 = 0

(y - 3)(y + 1) = 0

Akarnya adalah y_1 = 3,namun y_2 = -1 tidak bisa jadi penyelesaian karena bernilai negatif.

Sehingga:

Jika y_1 = 3 \overset{maka}{\rightarrow}3 = \log(3x+1)

\log(1000) = \log(3x+1)

1000 = 3x+1

x = \frac{999}{3} = 333

Contoh Soal 3: Pertidaksamaan Logaritma

Penyelesaian pertidaksamaan 2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4 adalah       (UMPTN ’96)

Pembahasan 3:

2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4

\log(x+1)^2 \le\log 4(x+4)

(x+1)^2 \le 4(x+4)

x^2 + 2x + 1 \le 4x + 16

x^2 - 2x - 15 \le 0

(x - 5)(x + 3) \le 0

Akar-akarnya adalah x_1 = 5 dan x_2 = -3. Sehingga intervalnya:

-3 \le x \le 5

Namun ada syarat yaitu:

(x + 1)^2 > 0

x < -1 atau x < -1

Garis bilangannya adalah:

pembahasan pertidaksamaan

Maka penyelesaiannya adalah:

-1 < x \le 5

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Sudut Istimewa Sin Cos Tan
  2. Integral
  3. Pengertian Matriks, Jenis-jenis, Ordo