Limit Fungsi Trigonometri

Substansi Penyelesaian Soal Limit secara Umum

Saat kamu ingin menentukan nilai $\lim \limits_ {x \to c} f (x)$ , pertama yang WAJIB kamu lakukan adalah substitusi nilai x = c ke f(x) yang menghasilkan f(c) = L. Nilai L bisa bernilai tentu atau tak tentu.

A. Bentuk Tentu

Bentuk tentu dari L contohnya $5, 0, \infty$ , $\sqrt{2}$ , $(\frac{0}{3}=0)$ , $(\frac{-3}{\infty}=0)$ , $(\frac{\infty}{-4}=-\infty)$ , $(\infty + \infty = \infty)$ , $(\infty . \infty = \infty)$ , $(\frac{0}{\infty}=0)$ , $(\frac{\infty}{0}=\infty)$ , $(\infty ^\infty= \infty)$ dan $(0^\infty =0)$

Ciri bentuk tentu adalah operasinya saling membantu atau TIDAK bersaing, ini berarti keduanya sama-sama menguatkan untuk menuju hasil. Jika L bentuk tentu, maka L adalah nilai limit tersebut.

B. Bentuk Tak Tentu

Bentuk tak tentu dari L misalnya $(\frac{0}{0})$ , $(\frac{\infty}{\infty})$ , $(\infty - \infty)$ , $(0 .\infty), (0^0), (\infty^0), (1^\infty)$
Khusus 3 bentuk terakhir dibahas untuk materi pendalaman, sementara bentuk $(0.\infty)$ kamu harus pahami sebagai bentuk lain dari $(\frac{0}{0})$ atau $(\frac{\infty}{\infty})$ dengan mengasumsikan $\infty$ sebagai $\frac{1}{0}$ , atau 0 sebagai $\frac{1}{\infty}$ .

Secara umum, ciri bentuk tak tentu adalah operasinya SALING bersaing, ini berarti keduanya sama-sama saling melemahkan untuk menuju hasil. Jika L bentuk tak tentu, maka harus menggunakan berbagai metode untuk menyelesaikannya, misalnya mengubah bentuk fungsi, memfaktorkan, menggunakan bentuk sekawan sekawan pada kasus $(\infty - \infty)$ atau menggunakan Dalil L’Hospital pada bentuk $(\frac{0}{0})$ atau $(\frac{\infty}{\infty})$ . Sedangkan 3 bentuk terakhir menggunakan bantuan konsep logaritma natural untuk menyelesaikannya.

Dalam penyelesaian soal Limit Trigonometri, metode yang sering dipakai adalah substitusi, pemfaktoran, menyamakan penyebut, turunan (Dalil L’Hospital), atau perkalian dengan bentuk sekawan.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Pertidaksamaan
Irisan Kerucut
Vektor

Limit Trigonometri

Supaya kamu bisa melahap semua soal limit trigonometri, konsep yang wajib kamu kuasai adalah:

1. Identitas Trigonometri

$sin^2 x + cos^2 x =1$
$1+cot^2 x = csc^2 x$
$1+ tan^2 x = sec^2 x$

Catatan: Jangan dihapal semua!

Baris kedua diperoleh dengan membagi baris pertama dengan $sin^2 x$

Baris ketiga diperoleh dengan membagi baris pertama dengan $cos^2 x$

2. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

$\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$
$\sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$
$\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
$\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
$\tan (x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1- \tan x \tan y}$
$\tan (x - y) = \frac{tan x - \tan y}{1+ \tan x \tan y}$

Catatan: Jangan dihapal semua!

Misal untuk menentukan sin(x – y), cukup gunakan rumus sin(x+y) dengan cara menyatakan sin(x – y) = sin(x + (-y))

3. Rumus Perkalian

$2 \sin x \cos y = \sin (x + y) + \sin (x - y)$
$2 \cos x \sin y = \sin (x + y) - \sin (x - y)$
$2 \cos x \cos y = \cos (x + y) + \cos (x - y)$
$-2 \sin x \sin y = \cos (x + y) - \cos (x - y)$

Catatan: Semua rumus perkalian TIDAK PERLU dihapalkan, CUKUP turunkan saja dari Rumus Jumlah dan Selisih Sudut.

Misal untuk mendapatkan Rumus baris pertama:

$\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\underline{\sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y } _+$

$\sin (x + y) + \sin (x - y) = 2 \sin x \cos y$

4. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan

$\sin p + \sin q =2 \sin(\frac{p +q}{2}) \cos(\frac{p - q}{2})$
$\sin p - \sin q =2 \cos(\frac{p +q}{2}) \sin(\frac{p - q}{2})$
$\cos p + \cos q =2 \cos(\frac{p +q}{2}) \cos(\frac{p - q}{2})$
$\cos p - \cos q = -2 \sin(\frac{p +q}{2}) \sin(\frac{p - q}{2})$

Catatan: Semua rumus ini pun TIDAK PERLU dihapal!

Misal untuk mendapatkan nilai sin p + sin q, kamu hanya perlu menurunkan rumus jumlah dan selisih sudut dengan cara memisalkan x + y = p dan x – y = q

5. Sudut Rangkap

$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$
$\cos 2 x = cos^2 x - \sin^2 x=1 -2 \sin^2 x=2 \cos^2 x-1$
$\tan 2 x = \frac{2 \tan x}{1- \tan^2 x }$

Catatan: Semua rumus ini juga TIDAK PERLU dihapal!

Misal untuk mendapatkan nilai sin 2x, kamu tinggal menyatakan dalam bentuk sin (x + x) sesuai dengan rumus jumlah sudut.

Gunakan juga identitas trigonometri untuk tahu variasi rumus cosinus sudut rangkap.

6. Turunan Trigonometri

f (x)	f’ (x)
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$- \sin x$
$\tan x$	$\sec^2$
$\sec x$	$\sec x \tan x$
$\csc c$	$- \csc x \cot x$
$\cot x$	$- \csc^2$

Catatan: Kamu hanya perlu menghapal turunan dari sin x dan cos x saja, sisanya bisa menurunkan sendiri, misal tan x dinyatakan dalam $\frac{\sin x}{\cos x}$ yang merupakan bentuk $\frac{u}{v}$ , turunannya adalah

$\frac{u'v - uv'}{v^2}= \frac{\cos x \dot \cos x - \sin x( - \sin x)}{\cos^2 x}= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

Untuk fungsi seperti $\sec x = \frac{1}{\cos x} = ( \cos x )^-1$ , selain kamu bisa menyatakannya dalam bentuk $\frac{u}{v}$ (u = 1 dan v = cos x ), kamu juga bisa langsung mencari turunan dari $( \cos )^-1$ yaitu

$- ( \cos x)^-2 (- \sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}. \frac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x$

7. Teorema Limit untuk Trigonometri

$\lim \limits_{x \to 0}\frac{\sin ax}{bx} =\frac{a}{b}$
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{ax}{\sin bx} =\frac{a}{b}$
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{\sin ax}{\sin bx} =\frac{a}{b}$
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{\tan ax}{ bx} =\frac{a}{b}$
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{ax}{\tan bx} =\frac{a}{b}$
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{\tan ax}{\tan bx} =\frac{a}{b}$
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{\sin ax}{\tan bx} =\frac{a}{b}$
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{\tan ax}{\sin bx} =\frac{a}{b}$

8. Bentuk Khusus k.cos(x – a) atau k.sin(x + a)

$A \ sin x + B \cos x = k \cos(x-b) = k \sin (x + a)$

$k = \sqrt{A^2 + B^2}$
$a = \tan^{-1} (\frac{B}{A})$
$b = \tan^{-1} (\frac{B}{A})$

9. Aturan L’Hospital

Jika $\lim \limits_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ atau $\lim \limits_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}$

Maka berlaku $\lim \limits_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Contoh Soal Limit Trigonometri dan Pembahasan

Contoh 1

Tentukan nilai $\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1- \cos 2x }{2 \cos x}$

Pembahasan

$\lim \limits_{x \to \frac{n}{2}} \frac{1- \cos 2x}{2 \cos x} = \frac{1- \cos \pi}{2 \cos \frac{\pi}{2}} = \frac{1 + 1}{2( 0 )} = \frac{2}{0} = \infty$ (Bentuk tentu)

Contoh 2

Tentukan nilai $\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x + \cos x}$

Pembahasan

$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x + \cos x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 0}{\sin 0 + \cos 0} = \frac{0}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0$ (Bentuk tentu)

Contoh 3

Tentukan nilai $\lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos 2x - 1}{\cos 4x -1}$

Pembahasan

$\lim \limits_{x \to 0} \frac{1 - 2 \sin^2 x}{\cos x- \sin x} \frac{1-1}{\frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{2} \sqrt{2}} = \frac{0}{0}$ ( Bentuk Tak Tentu )

Cara 1 (Mengubah Bentuk Trigonometri)

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos 2x - 1}{\cos 4x - 1} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - 2 \sin^2 x - 1}{1 - 2 \sin^2 2x - 1}$

$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{\sin^2 2x }$

$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 x }{(2 \sin x \cos x)^2}$

$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 x }{4 \sin^2 x \cos^2 x}$

$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 }{4 \cos^2 x }= \frac{1}{4}$

Cara 2 (Menggunakan Dalil L’Hospital)

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos 2 x - 1 }{\cos 4 x - 1} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{- 2 \sin 2 x }{-4 \sin 4 x }$

$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2 x}{( 2 \sin 4 x }$

$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{ 2 \cos 2 x }{ 8 \cos 4 x }$

$= \frac{2(1)}{8(1)}$

$= \frac{1}{4}$

Contoh 4

Tentukan nilai $\lim \limits_{ x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 -2 \sin^2 x}{\cos x - \sin x}$

Pembahasan

$\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 - 2 \sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \frac{0}{0}$ (Bentuk Tak Tentu)

Cara 1 (Mengubah Bentuk Trigonometri)

$\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 - 2 \ sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2 x}{\cos x - \sin x}$

$= \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\ cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x }$

$= \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)}{\cos x - \sin x}$

$= \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} (\cos x + \sin x)$

$= \frac{1}{2} \sqrt{2} + \frac{1}{2} \sqrt{2}$

$= \sqrt{2}$

Cara 2 (Dalil L’Hospital)

$\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 - 2 \ sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-4 \sin x \cos x}{- \sin x - \cos x}$

$= \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{4 \sin x \cos x}{\sin x + \cos x}$ $

$= \frac{4(\frac{1}{2} \sqrt{2})(\frac{1}{2} \sqrt{2})}{\frac{1}{2} \sqrt{2} + \frac{1}{2} \sqrt{2}}$

$= \frac{2}{\sqrt{2}}$

$= \sqrt{2}$

Contoh 5

Tentukan nilai $\lim \limits_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x \cos x})$

Pembahasan

$\lim \limits_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x \cos x}) = \infty - \infty$ (Bentuk Tak Tentu)

$\lim \limits_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x \cos x}) = \lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \cos x} = \frac{0}{0}$

Cara 1 (Mengubah Bentuk Trigonometri)

Dari rumus sudut rangkap, $\cos 2 x = 1 -2 \sin^2 x$

Maka $\cos x = 1 - 2 \sin^2 \frac{1}{2} x$

Akibatnya

$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \cos x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{1 - 2 \sin^2 \frac{1}{2}x - 1}{x \cos x}$

$= \lim \limits_{x \to 0} \frac{ - 2 \sin^2 \frac{1}{2}x }{x \cos x}$

$= -2 \lim \limits_{x \to 0} (\frac{ \sin \frac{1}{2} x \sin \frac{1}{2} x} {x \cos x} . \frac{\frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x})$

$= -2 \lim \limits_{x \to 0}(\frac{\sin\frac{1}{2}x}{x} . \frac{\sin \frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x} . \frac{\frac{1}{2}x}{\cos x})$

$= -2(\frac{1}{2}) (1) \lim \limits_{x \to 0} \frac{x}{2 cos x}$

$= (-1)(\frac{0}{2})$

$= 0$

Cara 2 (Dalil L’Hospital)

$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x \cos x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{- \sin x}{\cos x - x \sin x}$

$= \frac{0}{1}$

$= 0$

Contoh 6

Tentukan nilai $\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{\pi}{4} - 2x) \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\frac{\pi}{4} - 2x)}{4x - \pi}$

Pembahasan

$\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin (\frac{\pi}{4} - 2x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\frac{\pi}{4} - 2x)}{4x - \pi} = \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin (- \frac{\pi}{4} ) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (- \frac{\pi}{4})}{4x - \pi} = \frac{0}{0}$

Cara 1 (Dalil L’Hospital)

$\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{\pi}{4} - 2x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\frac{\pi}{4} - 2x)}{4x - \pi} = \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(- 2) \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\frac{\pi}{4} - 2x) + (-2) \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (- \sin(\frac{\pi}{4} - 2x))}{4x - \pi}$

$= \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{- \sqrt{2}\cos (\frac{\pi}{4} - 2x) + \sqrt{2} \sin (\frac{\pi}{4} - 2x)}{4}$

$= \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{- \sqrt{2}\cos (-\frac{\pi}{4}) + \sqrt{2} \sin (- \frac{\pi}{4})}{4}$

$= \frac{- \sqrt{2}( \frac{1}{2}\sqrt{2}) + \sqrt{2} (- \frac{1}{2}\sqrt{2})}{4}$

$= \frac{-2}{4}$

$= - \frac{1}{2}$

Cara 2 (Mengubah bentuk trigonometri)

Gunakan rumus

$A \sin x + B \cos x = K \sin (x + a)$

$k = \sqrt{A^2 + B^2}$

$a = \tan^ {-1} (\frac{B}{A})$

Maka untuk

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{\pi}{4} - 2x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{\pi}{4} - 2x)$

$k = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{1} = 1$

$a = \tan^{-1} (\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}) = \tan{^-1} (1) =\frac{\pi}{4}$

Jadi

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{\pi}{4} - 2x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin ( \frac{\pi}{4} - 2x) = \sin (\frac{\pi}{4} - 2x + \frac{\pi}{4}) = \sin (\frac{\pi}{2} - 2x)$

Akibatnya

$\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{\pi}{4} - 2x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\frac{\pi}{4} - 2x)}{4x - \pi} = \lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin (\frac{\pi}{2} - 2x)}{4x - \pi}$

$\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin(- \frac{1}{2}) (4x - \pi)}{4x - \pi}$

Perhatikan bahwa $x \to \frac{\pi}{4}$ ekivalen dengan $4x \to \pi$ atau $4x - \pi \to 0$

Jadi

$\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin (- \frac{1}{2}) (4x - \pi)}{4x - \pi} = \lim \limits_{(4x - \pi) \to 0} \frac{\sin (- \frac{1}{2}) (4x - \pi)}{4x - \pi} =- \frac{1}{2}$

Referensi

Naskah Soal UTUL UGM Tahun 2009 dan 2006 dengan sedikit modifikasi

Purcell and Varberg, Calculus and Analitical Geometry, 9th Edition

Substansi Penyelesaian Soal Limit secara Umum

A. Bentuk Tentu

Ciri bentuk tentu adalah operasinya saling membantu atau TIDAK bersaing, ini berarti keduanya sama-sama menguatkan untuk menuju hasil. Jika L bentuk tentu, maka L adalah nilai limit tersebut.

B. Bentuk Tak Tentu

Dalam penyelesaian soal Limit Trigonometri, metode yang sering dipakai adalah substitusi, pemfaktoran, menyamakan penyebut, turunan (Dalil L’Hospital), atau perkalian dengan bentuk sekawan.